Grenzwertsätze

11.01.2012, 13:11

loyloep

Grenzwertsätze

Es sei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable mit Werten in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ ) und $\begin{eqnarray*} Var(X) \end{eqnarray*}$ existieren. Weiter seien $\begin{eqnarray*} X_1, X_2, X_3, ... \end{eqnarray*}$
unabhängige Kopien von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_n = X_1 + X_2 + ... + X_n \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: Falls $\begin{eqnarray*} E(X) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} P(S_n = 0 \quad \text{für endlich viele} \quad n ) = 1 \end{eqnarray*}$ .

In der Vorlesung haben wir diverse Grenzwertsätze kennengelernt: das schwache Gesetz großer Zahlen, das starke Gesetz großer Zahlen und den zentralen Grenzwert. Ich kann nicht erkennen welcheer Grenzwertsatz hier angewendet werden kann und wir. Kann mir jemand helfen?

11.01.2012, 20:44

HAL 9000

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Sei o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} E(X)>0 \end{eqnarray*}$ . Für die Ereignisse $\begin{eqnarray*} A_n = [S_n\leq 0] \end{eqnarray*}$ kann man dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} P(A_n)<\infty \qquad (*) \end{eqnarray*}$

nachweisen, womit über Borel-Cantelli

$\begin{eqnarray*} P(\limsup\limits_n A_n) = P(S_n\leq 0 \quad \text{für unendlich viele} \quad n ) = 0 \end{eqnarray*}$

folgt, etwas mehr als die Behauptung. Zugegeben, so ganz trivial ist der Nachweis von (*) nicht, so ganz zufrieden bin ich da mit meiner Lösung (über den ZGWS) auch noch nicht. verwirrt

11.01.2012, 23:14

loyloep

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1.) Ich verstehe nicht wie Du von $\begin{eqnarray*} P(S_n = 0 \quad \text{für unendlich viele} \quad n) = 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} P(S_n = 0 \quad \text{für endlich viele} \quad n) = 1 \end{eqnarray*}$ schließt.

2.) Du betrachtest lediglich den Fall $\begin{eqnarray*} S_n \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Was ist mit den Fall $\begin{eqnarray*} S_n > 0 \end{eqnarray*}$ ? Die sind ja nicht von vorneherein ausgeschlossen.

12.01.2012, 08:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von loyloep
1.) Ich verstehe nicht wie Du von $\begin{eqnarray*} P(S_n = 0 \quad \text{für unendlich viele} \quad n) = 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} P(S_n = 0 \quad \text{für endlich viele} \quad n) = 1 \end{eqnarray*}$ schließt.

Das eine Ereignis ist das Komplement des anderen. Und $\begin{eqnarray*} P(E^c)=1-P(E) \end{eqnarray*}$ sollte dir geläufig sein.

Zitat:

Original von loyloep
2.) Du betrachtest lediglich den Fall $\begin{eqnarray*} S_n \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Was ist mit den Fall $\begin{eqnarray*} S_n > 0 \end{eqnarray*}$ ? Die sind ja nicht von vorneherein ausgeschlossen.

Ich schätze ab

$\begin{eqnarray*} P(S_n=0 \quad \text{für unendlich viele} \quad n ) \leq P(S_n\leq 0 \quad \text{für unendlich viele} \quad n ) \end{eqnarray*}$ ,

weil das Ereignis links offenbar in dem Ereignis rechts enthalten ist. Und wenn das Ereignis rechts die Wahrscheinlichkeit Null hat, dann gilt das aufgrund dieser Ungleichung eben auch für das Ereignis links. Was stört dich daran? unglücklich

Anscheinend hast du nicht berücksichtigt, dass ich ganz oben "o.B.d.A $\begin{eqnarray*} E(X)>0 \end{eqnarray*}$ " geschrieben habe. In dem anderen möglichen Fall $\begin{eqnarray*} E(X)<0 \end{eqnarray*}$ würde man den ganzen Beweis dann über $\begin{eqnarray*} P(S_n\geq 0 \quad \text{für unendlich viele} \quad n )=0 \end{eqnarray*}$ aufziehen.

EDIT: Nach reiflicher Überlegung muss ich dann doch eingestehen, dass mein "Beweis" von (*) so wie gedacht nicht klappt: Die Reihe der approximierenden Normalverteilungswahrscheinlichkeiten (gemäß ZGWS) konvergiert zwar, aber eine sichere Abschätzung für die $\begin{eqnarray*} P(A_n) \end{eqnarray*}$ ist das ja nicht. Eine solche Absicherung mit etwa Berry-Esseen klappt leider nicht, da die dortige Konvergenzordnung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ bei Summation über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dummerweise divergiert. verwirrt

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