Skalarprodukt vs. 2x2 Matrizen

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11.01.2012, 14:57	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt vs. 2x2 Matrizen Moin! Hab hier folgende Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V=\left\{\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix}\|a_1,a_2,a_3 \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ der Vektorraum der reelen symetrischen 2x2-Matrizen. a) Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} <\cdot ,\cdot >_1 : V \times V \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}> = a_1b_1+2a_1b_2+2a_2b_1+a_3b_3 \end{eqnarray}$ kein Skalarprodukt von V ist. b)Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} <\cdot ,\cdot >_2 : V \times V \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} b_1 & b_2 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}> = 2a_1b_1-a_1b_3-a_3b_1+4a_2b_2+a_3b_3 \end{eqnarray}$ ein Skalarprodukt von V ist. Ich bräuchte einen Ansatz... Irgendwie weiß ich nicht wo ich da Anfangen soll... Vielen Dank schon mal
11.01.2012, 16:27	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun bin ich da auf was gestoßen: $\begin{eqnarray} <A,B> = spur\left(A^TB\right) = \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m a_{ij}b_{ij} \end{eqnarray}$ aber da bekomme ich sowas raus wie: $\begin{eqnarray} a_1b_1\left(a_2b_1+a_3b_3\right)+a_2b_2\left(a_2b_1+a_3b_3\right)<br /> \end{eqnarray}$ Das hilft mir nur auch nicht weiter.... Jemand nen Hint für mich?
11.01.2012, 16:48	dash77	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Skalarprodukt ist bilinear, positiv definit und symmetrisch. Das müsstest du hier also überprüfen. Schau doch mal hier und bei Wikipedia.
11.01.2012, 20:03	Math_1978	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah! Thx... Ist ja garnet so wild. Aber manchmal steht man halt aufm Schlauch....
12.01.2012, 21:28	mathe13	Auf diesen Beitrag antworten »
hi. muss die selbe aufgabe bearbeiten und hab aus den anderen antworten noch nichts ziehen können, was mir die bearbeitung erleichtert hätte. kannst du mir vielleicht nen konkreteren ansatz geben? danke
12.01.2012, 22:10	dash77	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, unter dem Wikipedia Link oben stehen unter dem ersten Punkt die Eigenschaften, die die Abbildungen aus der Aufgabenstellung erfüllen müssen, damit sie Skalarprodukte sind. Für Aufgabenteil a) reicht es schon, einen Fall anzugeben, für den eine dieser Eigenschaften nicht erfüllt ist. Unter dem anderen Link steht auch schon, welche der Eigenschaften dafür besonders geeignet ist: die positive Definitheit. Das heisst du musst eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in V \end{eqnarray}$ finden, für die $\begin{eqnarray} <A,A>_{1} \end{eqnarray}$ eine negative Zahl liefert. Für Aufgabenteil b) musst du alle drei Eigenschaften - Bilinearität, Symmetrie, positive Definitheit - explizit nachweisen. Der erste Schritt wäre also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} <A,B+C>_{2}=<A,B>_{2} + <A,C>_{2} \end{eqnarray}$ für Matrizen $\begin{eqnarray} A,B,C \in V \end{eqnarray}$ gilt. Dafür einfach diese drei Matrizen definieren und auf beiden Seiten die Abbildungsvorschrift von $\begin{eqnarray} <\cdot,\cdot>_{2} \end{eqnarray}$ anwenden. Dann die Terme so umformen, dass auf beiden Seiten das gleiche steht. Die anderen Eigenschaften - bis auf die positive Definitheit - lassen sich auf die gleiche Art nachweisen.
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12.01.2012, 22:50	mathe13	Auf diesen Beitrag antworten »
oh mann... jetzt hab ichs endlich!!! tausend dank!!!
06.01.2015, 09:27	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommt man da auf C? Kann da einer einen Tipp geben???
06.01.2015, 10:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss für jede Matrix $\begin{eqnarray} C\in V \end{eqnarray}$ gelten
06.01.2015, 11:00	Sandra*	Auf diesen Beitrag antworten »
Also quasi identisch zu A und B $\begin{eqnarray} C:= \begin{vmatrix} c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$
06.01.2015, 11:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau

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