mengenbeweise bei funktionen

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11.01.2012, 16:25	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
mengenbeweise bei funktionen ich verzweifle grade an folgender aufgabe beweisen sie das hier keine gleichheit vorliegt: f [ X geschnitten Y] ist teilmenge von f[X] geschnitten f[Y] .. da blick ich irgendwie nicht ganz durch ich wollte mit sowas anfangen f[X geschnitten Y] --> y € f[X geschnitten Y] --> x€X und x€Y und y=f(x) stimmt das? allerdings kommt bei mir beim 2.teil das gleiche raus..aber da es ja keine gleichheit sein soll muss ich irgendwas falsch machen..
11.01.2012, 16:32	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da fehlen einige Angaben zur Aufgabe. Was ist X, was ist Y, Teilmengen? Von was? Auch eine Darstellung über den Formeleditor wäre wünschenswert.
11.01.2012, 16:57	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} f:A \Rightarrow B \end{eqnarray}$ eine Funktion und seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , dann gilt $\begin{eqnarray} f[X\cap Y]\subseteq f[X]\cap f[Y] \end{eqnarray}$ Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek
11.01.2012, 17:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die LaTeX-Klammern nur um die Teile setzen, die als Formel geschrieben werden sollen. Was hast du von dieser Aussage schon bewiesen? Hast du die Teilmengenbeziehung nachgewiesen? Welche Gleichheit willst du jetzt widerlegen? Normalerweise reicht als ein Gegenbeispiel aus, um eine Aussage zu widerlegen, lässt sich da vielleicht eins finden?
11.01.2012, 17:07	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
ich wusste nicht wie man die teilmengen beziehung nachweisen soll.. aber ich will ja widerlegen dass $\begin{eqnarray} f[X\cap Y] \neq f[X] \cap f[Y] \end{eqnarray}$ ist oder? oder nur das die teilmenge nicht in die andere richtung funktioniert?
11.01.2012, 17:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Laut Aufgabe sollst du die Teilmengenbeziehung zeigen. Dass die angegebenen Mengen nicht gleich sind, wäre eine andere Augabe.
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11.01.2012, 17:19	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
wie zeigt man denn so eine teilmengenbeziehung?
11.01.2012, 17:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Man nehme sich ein Element der einen Menge und folgere, dass dieses dann auch in der anderen Menge enthalten ist, ganz nach Definition der Teilmenge.
11.01.2012, 17:26	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in f[X\cap Y]\Rightarrow x\in f[X]\wedge x\in f[Y] \end{eqnarray}$ ? das ist bestimmt zu wenig..
11.01.2012, 17:29	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
oder ohne f davor?
11.01.2012, 17:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist die zu zeigende Aussage. Ich finde das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ als Bildelement etwas ungünstig gewählt, mal als Anfang: Sei $\begin{eqnarray} y\in f[X\cap Y] \end{eqnarray}$ , was weißt du dann über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ? Wie lässt sich $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ also darstellen?
11.01.2012, 17:35	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
dann ist y $\begin{eqnarray} \in f[X]\wedge y \in f[Y] \end{eqnarray}$ ?
11.01.2012, 17:48	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das wollen wir noch zeigen. Wende auf $\begin{eqnarray} f[X\cap Y] \end{eqnarray}$ die Definition des Bildes einer Funktion an.
11.01.2012, 17:59	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
ach ich gebe auf.. :-(
11.01.2012, 18:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist deine Sache, die Aufgabe ist aber nicht wirklich so schwer, dass man da aufgeben sollte. Sei $\begin{eqnarray} f:A\rightarrow B \end{eqnarray}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray} X\subseteq A \end{eqnarray}$ , wie ist dann $\begin{eqnarray} f(X) \end{eqnarray}$ definiert? Du musst es dir nur einmal sauber aufschreiben, das ist alles.
11.01.2012, 18:09	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
f(x) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ B?
11.01.2012, 18:14	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Wenn dir die Definition gerade nicht geläufig ist, dann schlag diese doch einfach nach, ihr solltet diese Ausdrücke ja aufgeschrieben und eingeführt haben.
11.01.2012, 18:17	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
{f(a) mit a € X}?
11.01.2012, 18:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
So, damit können wir doch weiter arbeiten. Was ist dann $\begin{eqnarray} f[X\cap Y] \end{eqnarray}$ ? Was muss also für ein Element dieser Menge gelten?
11.01.2012, 18:31	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab jetzt das: 1. $\begin{eqnarray} f[X\cap Y]= {f(a)mit a \in X\cap Y} = {f(a) mit a \in X \wedge a \in Y}, d.h. y\in {f(a) mit a \in X\wedge a\in Y} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f[X]\cap f[Y] \Rightarrow y\in f[X]\cap y\in [Y]\Rightarrow y\in {f(a) mit a\in X}\cap y\in {f(a) mit a \in Y} \Rightarrow y\in {f(a) mit a \in X \wedge a\in Y} \end{eqnarray}$ damit wäre die mengengleichheit doch bewiesen oder?
11.01.2012, 18:38	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Da geht noch einiges sehr durcheinander. Erstmal: $\begin{eqnarray} f[X\cap Y] = \{f(x)~\|~x\in X\cap Y\} \end{eqnarray}$ stimmt. Danach machst du einige wirre Aussagen und schneidest Mengen mit Elementen. Mach es einmal genau und in mehreren Schritten. Sei $\begin{eqnarray} y\in f[X\cap Y] \end{eqnarray}$ , dann existiert ein $\begin{eqnarray} x\in X\cap Y \end{eqnarray}$ mit... Du willst am Schluss folgern können, dass sowohl $\begin{eqnarray} y\in f[X] \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} y\in f[Y] \end{eqnarray}$ ist, dafür fehlt nach den Pünktchen eigentlich nur noch ein Schritt, eine Begründung.
11.01.2012, 18:44	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
..mit $\begin{eqnarray} x\subseteq A \wedge y\subseteq A \end{eqnarray}$ ?
11.01.2012, 18:45	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
das sollte jeweils ein großes X und Y sein
11.01.2012, 18:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. $\begin{eqnarray} X\subseteq A, Y\subseteq A \end{eqnarray}$ ist doch schon vorausgesetzt, darüber wollen wir auch keine Aussage treffen.
11.01.2012, 18:48	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
mist
11.01.2012, 18:51	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
mit $\begin{eqnarray} a\in X \wedge a\in Y \end{eqnarray}$ ?
11.01.2012, 18:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte keine Ratespielchen, wo kommt denn das $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auf einmal her? $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist ein Funktionswert der Funktion, also muss es ja von irgendeinem Element aus dem Definitionsbereich getroffen werden. Welche Elemente dafür in Frage kommen, hattest du schon aufgeschrieben; $\begin{eqnarray} f[X\cap Y]=\{f(x)~\|~x\in X\cap Y\} = \{y~\|~\exists x\in X\cap Y:f(x)=y\} \end{eqnarray}$
11.01.2012, 18:58	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das klingt logisch
11.01.2012, 18:58	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann überleg dir jetzt mal damit, wie du den Satz oben fortführen kannst. Das steht noch immer aus.
11.01.2012, 19:06	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
.. mit f(x)= y $\begin{eqnarray} \Rightarrow y\in {f(x) mit x\in X}\wedge y\in {f(x) mit x\in Y} \Rightarrow y \in f[X] \wedge y\in f[Y] \Rightarrow f[X] \cap f [Y] \end{eqnarray}$
11.01.2012, 19:15	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y\in f(x) \end{eqnarray}$ ist Unsinn, $\begin{eqnarray} y=f(x) \end{eqnarray}$ . Also, wir haben so ein $\begin{eqnarray} x\in X\cap Y \end{eqnarray}$ gefunden mit $\begin{eqnarray} f(x)=y \end{eqnarray}$ . Was kannst du weiteres über das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sagen? Wie kommt man dann auf die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} y\in f[X] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\in f[Y] \end{eqnarray}$ ist?
11.01.2012, 19:26	juli123	Auf diesen Beitrag antworten »
das probier ich dann morgen weiter aus.. aber vielen dank für deine hilfe =)

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