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11.01.2012, 21:51

liebe_Maus

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Hallo liebe Mathefreunde smile

Ich tüftel seit eine halbe Ewigkeit an folgender Aufgabe:
Aufgabe:
Es seien $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathbb K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .
Beweise:
$\begin{eqnarray*} Rang\left(A\right) + Rang\left(B\right)- n\le Rang\left (AB\right) \leq min\left\{ Rang\left(A\right)+ Rang\left(B\right) \right\} \end{eqnarray*}$

Idee:
Ich will erstmal $\begin{eqnarray*} Rang\left(A\right) + Rang\left(B\right)- n\le Rang\left (AB\right) \end{eqnarray*}$ untersuchen:
Ich weiß das gilt: $\begin{eqnarray*} Rang A=n- dim_{\mathbb K} Kern\left(A\right) \end{eqnarray*}$ .
Alsi ist $\begin{eqnarray*} Rang\left(A\right) + Rang\left(B\right)- n\le Rang\left (AB\right) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n- dim_{\mathbb K} Kern\left(A\right) + n- dim_{\mathbb K} Kern\left(A\right) - n=n- \left(dim_{\mathbb K} Kern\left(A\right) + dim_{\mathbb K} Kern\left(B\right)\right) \leq n- dim_{\mathbb K} Kern\left(A\cdot B\right) \end{eqnarray*}$

Also muss ich im Prinzip für den ersten Teil erstmal zeigen das: $\begin{eqnarray*} \left(dim_{\mathbb K} Kern\left(A\right) + dim_{\mathbb K} Kern\left(B\right)\right) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq dim_{\mathbb K} Kern\left(A\cdot B\right) \end{eqnarray*}$

Aber wie zeige ich das?
Es wäre echt lieb, wenn mich da jemand will Freude

lg
liebe_Maus

12.01.2012, 18:50

juffo-wup

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Das ist ein guter Anfang.
Für den Rest: Sei U der Kern von AB. Wenden wir die Dimensionsformel auf die Einschränkung von B (als lineare Abbildung) auf U an, dann erhalten wir (beachte dass der Kern der Einschränkung gleich dem Kern von ganz B ist):
$\begin{eqnarray*} \dim(U)=\dim(\ker(B))+\dim(B(U)) \end{eqnarray*}$
Und nach Definition von U: $\begin{eqnarray*} B(U)\subset \ker(A) \end{eqnarray*}$
Noch Fragen? smile

12.01.2012, 19:38

liebe_Maus

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Hi,
danke erstmal für deine Hilfe. Finde ich erst super von dir Freude

Zweistens könntest du deine Idee mir etwas näher erläutern.
Ich verstehe nicht so ganz was bei dir $\begin{eqnarray*} B(U) \end{eqnarray*}$ ist und in wie fern soll weiterhin der Kern der Einschränkung gleich dem Kern von ganz B sein.
Desweiteren verstehe ich nicht so ganz deine Defintion von U:
$\begin{eqnarray*} B(U)\subset \ker(A) \end{eqnarray*}$
Wie haben dern Kern folgendermaßen definiert:
Ist $\begin{eqnarray*} f\colon V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen , dann heißt die Menge

$\begin{eqnarray*} \ker f := \{ v \in V \mid f(v) = 0 \in W\} \end{eqnarray*}$

Ich dachte auch, wenn wir das ganze in der Sprache der Lineare Abbildung definieren, dann könnte das eine gute Idee sein und zwar dachte ich mir wenn wir einmal den Kern der Lin. Abbildung B bilden und den Kern der Lin. Abbildung von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bilden und anschließend den Kern der Lin Abbildung von $\begin{eqnarray*} A\circ B \end{eqnarray*}$ . Anschließend vergleichen wir die Anzahl der jeweiligen Basisvektoren der Kerne und zeigen so die Behauptung. Aber wie genau ich das ensprechend umsetzte, weiße ich noch nicht?

lg
liebe_Maus

12.01.2012, 19:40

juffo-wup

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B(U) soll das Bild von U unter B sein.
Also $\begin{eqnarray*} B(U):=\{ Bx\, |\, x\in U\} \end{eqnarray*}$

12.01.2012, 19:58

liebe_Maus

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Deine Idee gefällt mir, aber Ich tu mich etwas schwer damit.

Inwiefern soll gelten: $\begin{eqnarray*} \dim(U)=\dim(\ker(B))+\dim(B(U)) \end{eqnarray*}$ .
Wieterhin erkenne ich jetzt nicht den Zusammenhang zwischen U und und der Einschränkung von B.

Apropos, sagt dir meine Idee zu , was ich noch unten beigefügt habe, oder ist das in deinen Auge Non Sense

lg
liebe_Maus

12.01.2012, 20:25

juffo-wup

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Deine Idee ist sehr grob formuliert. Man braucht gerade eine Möglichkeit, eine Aussage über die Anzahl der Basisvektoren von Kern(AB) zu machen.

Zu deiner Frage:
Es gibt doch für lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} \varphi:V\to W \end{eqnarray*}$ die Formel
$\begin{eqnarray*} \dim(V)=\dim(Kern(\varphi))+\dim(Bild(\varphi)) \end{eqnarray*}$
Diese habe ich auf $\begin{eqnarray*} B:U\to B(U) \end{eqnarray*}$ angewendet.

12.01.2012, 21:33

liebe_Maus

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Genau und das ist mir auch klar, jedoch ist mir unklar inwiefern das gilt. Da bin ich etwas skeptisch, ob man soweit mit der Folgerung gehen kann. Also ob Kern der Einschränkung gleich dem Kern von ganz B ist, da ja für ganz B gilt: $\begin{eqnarray*} B:\mathbb K^{n}\to \mathbb K^{n} \end{eqnarray*}$ und für die Einschränkung von B: $\begin{eqnarray*} B:U\to B(U) \end{eqnarray*}$

Aber als aller erstes bin ich mir nicht so sicher ob man eine Einschränkung von B auf U anwenden kann, sodass wir $\begin{eqnarray*} B:U\to B(U) \end{eqnarray*}$ erhalten, wobei U der Kern von AB ist. In wie fern ist das ligitim?
Desweiteren bin ich skeptisch gegenüber deiner Definition von U: $\begin{eqnarray*} B(U)\subset \ker(A) \end{eqnarray*}$ . Inwiefern das gilt, kann ich mir nich nicht zusammen reimen.

Vielleicht sind das absolut triviale Sachen wo ich nachhacke. Aber ich hab nich nicht den ganz großen Überblick in Lina um das zu erkennen, obwohl ich die Vorlesungen stets reflektiere !

lg
liebe_Maus

12.01.2012, 21:58

juffo-wup

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Zitat:

Original von liebe_Maus
Aber als aller erstes bin ich mir nicht so sicher ob man eine Einschränkung von B auf U anwenden kann, sodass wir $\begin{eqnarray*} B:U\to B(U) \end{eqnarray*}$ erhalten, wobei U der Kern von AB ist. In wie fern ist das ligitim?

U ist ein Untervektorraum von K^n. B als Abbildung von K^n nach K^n ist linear. Daher ist B(U) auch ein Unterraum von K^n. Dann ist doch klar, dass B als Abbildung von U nach B(U) auch linear ist (Überprüfe, wenn du das nicht glaubst, einfach die Definition von 'lineare Abbildung'). Somit lässt sich natürlich auch jede Aussage anwenden, die allgemein für alle lineare Abbildungen gilt.

Zitat:

Desweiteren bin ich skeptisch gegenüber deiner Definition von U: $\begin{eqnarray*} B(U)\subset \ker(A) \end{eqnarray*}$ . Inwiefern das gilt, kann ich mir nich nicht zusammen reimen.

Das ist nicht die Definition von B(U). B(U) ist ganz einfach als das Bild von U unter B definiert. Dass $\begin{eqnarray*} B(U)\subset \ker(A) \end{eqnarray*}$ gilt, folgt doch unmittelbar aus der Definition von U:
Wenn Bx ein beliebiges Element aus B(U) ist, d.h. mit x im Kern von AB, dann gilt doch ABx=0, bzw. A(Bx)=0. Bx liegt daher im Kern von A.

Dass der Kern der Einschränkung gleich dem Kern von B ist, überlegt man sich genauso leicht. Wenn Bx=0 ist und x ist beliebig in K^n, dann ist auch ABx=0 und damit x im Kern von AB.

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