Eigenwerte nilpotenter Matrizen

12.01.2012, 11:00	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte nilpotenter Matrizen Es sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine nilpotente Matrix, also eine Matrix die nach n-maliger Multiplikation mit sich selbst 0 ergibt. Zeigen sie, das $\begin{eqnarray} \lambda =0 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von A ist, und dass A keine Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ besitzt.. Also dazu würde mir jetzt einfallen, dass die Determinante einer nilpotente MAtrix immer 0 sein muss (ich nehm die Determinante, weil die habn wir vor den Eigenwerten gemacht vielleicht hilft sie mir^^) Das muss ja so sein, weil nilpotente Matrizen singulär sind, sprich 2 Zeilen sind abhängig, also muss die Det 0 sein... Aber von hier auf die Eigenwerte fehlt mir die Idee...
12.01.2012, 13:06	dash77	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du brauchst für den Beweis nicht mehr, als die Definition einer nilpotenten Matrix - die du ja schon genannt hast - und die Definition eines Eigenwerts bzw. Eigenvektors. Am besten beide Formeln untereinander schreiben und überlegen, wie du sie in Zusammenhang bringen kannst.
13.01.2012, 13:56	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Sprich: Kann ich also sagen, das eine nilpotente Matrix nicht diagonalisierbar ist? (weil sie ja singulär ist) Folgt daraus schon die Behauptung?
13.01.2012, 14:51	dash77	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, die beiden Definitionen reichen aus: A ist nilpotent: Es exisitiert ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} A^{n} = 0 \end{eqnarray}$ . k ist Eigenwert zu A: Es gilt $\begin{eqnarray} A \cdot v = k \cdot v \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} v \neq 0 \end{eqnarray}$ . Wenn du jetzt ein bisschen an der unteren Formel arbeitest, kannst du die Eigenschaft, dass A nilpotent ist, ausnutzen und damit zeigen, dass $\begin{eqnarray} k = 0 \end{eqnarray}$ gelten muss.
14.01.2012, 12:46	Prechti1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs =) Ich kann ja einfach mal die mal sagen, dass $\begin{eqnarray} A \cdot v = k \cdot v \Rightarrow (A \cdot v)^{n} = (k \cdot v)^{n} \end{eqnarray}$ Dass kann ich ja machen, ich verändere ja die Lösung der Gleichung dadurch nicht. Daraus folgt aber dann, dass $\begin{eqnarray} A^n \cdot v^n = k^n \cdot v^n \end{eqnarray}$ Jetzt stehts quasi da^^ Da Definitionsgemäß $\begin{eqnarray} v \neq \vec{0} \end{eqnarray}$ ist, folgt zwingend dass $\begin{eqnarray} k = 0 \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} A^n = 0 \end{eqnarray}$ ist, weil A ja nilpotent ist
14.01.2012, 13:41	dash77	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, im Zweifelsfall müsstest du dann aber noch zeigen, dass in $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} v \neq 0 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} v^{n} \neq 0 \ \end{eqnarray}$ . Die Sache mit $\begin{eqnarray} v^{n} \end{eqnarray}$ lässt sich aber umgehen, indem du auf beiden Seiten der Gleichung A von links dran multiplizierst. Also: $\begin{eqnarray} A \cdot v = k \cdot v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A \cdot A \cdot v = A \cdot k \cdot v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^{2} \cdot v = k \cdot A \cdot v \end{eqnarray}$ und da ja $\begin{eqnarray} A \cdot v = k \cdot v \end{eqnarray}$ gilt, folgt: $\begin{eqnarray} A^{2} \cdot v = k \cdot k \cdot v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^{2} \cdot v = k^{2} \cdot v \end{eqnarray}$ Wenn man das wiederholt, kommt man schließlich zu $\begin{eqnarray} A^{n} \cdot v = k^{n} \cdot v \end{eqnarray}$ und daraus kannst du dann so folgern, wie in deinem letzten Post.
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