Ordnung von Gruppen + Isomorphismus

12.01.2012, 19:03

Underfaker

Ordnung von Gruppen + Isomorphismus

Hallo zusammen, :-)

In diskreter Mathematik haben wir das Thema algebra und Gruppen und ich habe in der aktuellen Übung vier Aufgaben zu bearbeiten (wobei ich auch so schon für die Klausur zugelassen wäre, ich möchte es nur gerne können)

Eine dieser Aufgabe ist folgende:

a) Wie sind die Ordnungen der Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{4}^{+} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{5}^{*} \end{eqnarray*}$ \0

b) Wie lautet ein Isomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen

c) zu zeigen ist das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{9} \end{eqnarray*}$ nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} x \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ (Kreuz) isomoroph sein kann.

Meine Ideen sind folgende:
(Achtung wegen der Form der Einfachheit halber schriebe ich die Elemente verkützt auf)

a)
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{4}^{+} \end{eqnarray*}$ : Ordnung:= m
0 -> m = 1
1 -> m = 4
2 -> m = 2
3 -> m = 4

und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{5} \end{eqnarray*}$
1 -> m = 1
2 -> m = 4
3 -> m = 4
4 -> m = 2

b)
Hier weiß ich nicht genau..
f(0) = 1
f(2) = 4
f(3) = 3
f(1) = 2

c)

in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{9}^{+} \end{eqnarray*}$
hat das Element [1] die Ordnung m = 9

da in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{3} \end{eqnarray*}$ jedes Element die Odnung m < oder = 3 hat und die Ordnung von Elementen unter Isomophismus erhalten bleibt, kann es keinen Isomorphismus geben da [1] eine Ordnung > 3 hat.

Ich weiß nicht ob das so richtig ist bzw. muss ich beweisen, dass diese Eigenschaft, also die Ordnung erhalten bleibt? (Script ist noch nciht online ich bin mir also nciht sicher ob wir das schon als Satz hatten)

Wie sieht es aus, was davon ist alles falsch und was kann man vielleicht gebrauchen?

Ich wäre über jede Hilfe dankbar :-)

12.01.2012, 21:19

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die a) ist richtig. Man schreibt für Ordnung von m gern ord(m).

b)Das ist die Abb. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /4 \mathbb Z \to \mathbb Z /5 \mathbb Z ^* , x \mapsto 2^x \end{eqnarray*}$ . In der Form lässt sich Iso relativ leicht nachweisen (bedenke dass entweder injektiv oder surjektiv reicht)

c) ist auch vollkommen richtig. Der Beweis dass Iso´s Ordnungen erhalten ist kurz:
Verwende/zeige dass für einen Hom. gilt: ord(f(m)) | ord(m) . Daraus folgts sofort.

12.01.2012, 21:22

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

zu b) Vielleicht bin ich ja nur gerade etwas dösig drauf.

Aber ich muss doch den Siomorphismus nciht nachweißen? sondern nur einen angeben, kann ich daraus schließen, dass der den ich angegeben habe richtig ist?

12.01.2012, 21:27

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Einen Iso angeben heißt nicht nur behaupten dass es einer ist, sondern auch zeigen dass er Iso ist.
(könnte ja auch sagen die Nullabbildung ist ein Iso. und dann?)

12.01.2012, 21:33

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah sorry, vergessen anzugeben, in der Aufgabe steht (ohne Beweis) :-)

Das heißt ich benötige in der Tat keinen Beweis sofern dieser Iso richtig ist, ich bräuchte nur die Bestätigung, weil ich mir nciht 100% sicher bin.

12.01.2012, 21:38

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man sich nicht sicher ist: beweisen, ist hier nicht allzu schwer.
Aber diese Abbildung, eine diskrete Exponentialabb., ist ein Iso.

12.01.2012, 21:45

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank :-)

Noch eine Frage:

"Verwende/zeige dass für einen Hom. gilt: ord(f(m)) | ord(m) . Daraus folgts sofort. "

Die Ordnung von f(m), was bedeutet hier denn genau die Ordnung?

Ein Problem habe ich dann mit der Schreibweise: | ord(m)

Was bedeutet in diesem Fall denn der gerade Strich?

Besteht vielleicht die Möglichkeit, dass du das in Worten wiedergibst?
Vielleicht hatten wir das schon so änlich und der Groschen fällt nicht wegen der Darstellung aber ich bin mir grade nicht sicher.

12.01.2012, 21:50

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematische Schreibweise ist eigentlich so schön kurz und pregnant im Gegensatz zur nätürlichen Sprache.
Die die ordnung eine natürliche Zahl ist heißt | teilt.
Wenn f eine Hom. ist so ist f(m) ein Element des Ziel, wiederrum einer Gruppe.
ord(f(m)) meint also die Ordnung des Elements f(m).

12.01.2012, 22:08

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist es hierbei egal ob Homo- oder Isomorphismus? Sollte beides ja strukturerhaltend sein.

Also doch teilen, ich kenne die Schreibweise natürlich, hatte dir nur hier absolut niciht erwartet.

Also die Ordnung des Homomorphismus von m teilt die Ordnung von m, dass das so ist weiß ich, warum ist das so? Das muss ich wahrscheinlich zu erst zeigen?!

Aber, dass das die eine Ordnung die andere teilt heißt doch:

ord(f(m)) | ord(m) => ord(f(m)) < = ord(m)

In unserem Beisipel war die Ordnung 9 das heißt 9|3 und das ist ja quarck...

(Ich bin mir nicht sicher was ich hier eigentlich schreibe)

Wenn die Ordnung 3 wäre und die andere Ordnung 3 passt das ja.

Aber was ist wenn die Ordnung 2 wäre und die andere 4 ? dann teilt das ja immernoch die Ordnung ist aber nicht mehr dieselbe Ordnung?!

12.01.2012, 22:16

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst beim Quark schreiben schreibst du Quark, oder solltest du zumindest.

Jeder Iso muss ein Hom. sein. Die Aussage gilt damit natürlich auch für Iso´s, da gilt sogar noch mehr wie bereits angemerkt.

Zitat:

Also die Ordnung des Homomorphismus von m teilt die Ordnung von m

Du meinst hoffentlich das Richtige, aber es gibt hier keinen Homomorphismus von m.
Was du meinst ist das Bild von m unter f, kurz f(m).

Zitat:

Aber, dass das die eine Ordnung die andere teilt heißt doch: ord(f(m)) | ord(m) => ord(f(m)) < = ord(m)

Die Folgerung ist richtig, aber wozu?

Und zum weiteren: was im Beispiel f von wo nach wo, welches Element?

12.01.2012, 22:23

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ok dann anders gefragt, wie zeige ich denn, dass ord(f(m))| f(m)

Das scheine ich ja hier zu benötigen.

Was ich noch nciht verstanden habe, wieso, dann direkt daraus folgt, dass die Ordnung beibahalten wird, also blos aus dieser Teilbarkeitseigenschaft.

Deswegen das Beispiel mit 2 und 4 ord(f(m)) = 2 und ord(m) = 4 dann gilt die Teilbarkeit aber die Ordnungen sind nicht identisch?! Wo ist der Denkfehler oder ist das Beispiel überhaupt sinnlos.

12.01.2012, 22:28

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

O.k. bevor das hier ausartet:

Sei $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ ein Hom. n=ord(a) für ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} f(a)^n=f(a^n)=f(e)=e \end{eqnarray*}$ . Nach Def, der ordnung (und Lagrange) ist damit
ord(f(a)) | n=ord(a).
ist f ein Iso, so exist.der Iso $\begin{eqnarray*} f^{-1}: B \to A \end{eqnarray*}$ . Nach obigem gilt:
ord( f^{-1}(f(a))=ord (a) | ord (f(a)) und damit ord (a) = ord (f(a)).

12.01.2012, 22:44

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

AAAh

a|b und b|a => a = b.

Wie bist du darauf gekommen am Anfang $\begin{eqnarray*} f(a)^{n} \end{eqnarray*}$ zu nehmen? Intuition/Erfahrung?

Und dann noch eine kurze Sache, im Satz von Langrage geht es ja um Untergruppen inwieweit gibt es denn hier eine Untergruppe, das ist das Einzige was mir ncoh nciht ganz klar geworden ist. der Schritt aus der Definition zu der Form des Teilens :-)

Dann bin ich glücklich und kann wieder ruhig schlafen.

12.01.2012, 22:49

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wie bist du darauf gekommen am Anfang $\begin{eqnarray*} f(a)^{n} \end{eqnarray*}$ zu nehmen? Intuition/Erfahrung?

Ja, Intuition kommt mit zunehmender Erfahrung. Und außerdem hab ich den Beweis ja schon mal geführt. Augenzwinkern

Zu Lagrange: Ja du hast Recht, der is6t erstmal nur für Untergruppen ausformuliert.
Bedenke aber ord(a)= |<a>|, sprich: die Ordnung von a ist die Ordnung/Mächtigkeit der von ihr definierten Gruppe. Dementsprechend muss die Elementordnung immer die Gruppenordnung teilen.

12.01.2012, 22:58

Underfaker

Auf diesen Beitrag antworten »

Puuh ok, vielen vielen Dank :-)

Und sorry, dass ich nun schon einiges von deiner Zeit in Anspruch genommen habe.

(Ich selbst habe die letzten Stunden schon anderen in Mathe geholfen allerdings mehr was mit Zahlen :-D)

Ich wünsche noch einen schönen Abend :-)

Neue Frage »

Antworten »

Ordnung von Gruppen + Isomorphismus

Verwandte Themen