Exakte Sequenz

12.01.2012, 20:52

Mandelbrötchen

Exakte Sequenz

Hallo zusammen,

ich stecke gerade etwas fest und würde mich über einen kleinen Anstupser freuen.

Folgende Aufgabe soll ich lösen:

Zeige, dass eine exakte Sequenz der Gestalt

$\begin{eqnarray*} 0 \xrightarrow{\varphi_0} \mathrm{kgV}(n,m) \mathbb Z/nm \mathbb Z \xrightarrow{\varphi_1} \mathbb Z/nm \mathbb Z \xrightarrow{\varphi_2} \mathbb Z/n \mathbb Z \times \mathbb Z/m \mathbb Z \xrightarrow{\varphi_3} \mathbb Z/ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \xrightarrow{\varphi_4} 0 \end{eqnarray*}$

existiert und gib die fehlenden Homomorphismen explizit an, wobei $\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ den kanonischen Homomorphismus bezeichnet.

Damit das Diagramm abelscher Gruppen eine exakte Sequenz ist muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi_{k-1})= \mathrm{Ker}(\varphi_k) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \le k \le 4 \end{eqnarray*}$

Habe mir bisher folgende Homomorphismen überlegt:

$\begin{eqnarray*} \varphi_0: 0 \longrightarrow \mathrm{kgV}(n,m) \mathbb Z/nm \mathbb Z \; , \; 0 \longmapsto 0 + nm \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_1: \mathrm{kgV}(n,m) \mathbb Z/nm \mathbb Z \longrightarrow \mathbb Z/nm \mathbb Z\; , \; a+nm \mathbb Z \longmapsto a + nm \mathbb Z \end{eqnarray*}$

So und $\begin{eqnarray*} \varphi_3 \end{eqnarray*}$ zu finden bekomm ich jetzt nicht hin.

Muss es ja so bestimmen, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{Ker}(\varphi_3)=\{(x+n \mathbb Z, x+m \mathbb Z) \in \mathbb Z / n \mathbb Z \times \mathbb Z / m \mathbb Z \; | \;x \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

Das heißt doch nichts anderes, als dass alle Elemente, die auf die 0 abgebildet werden sollen, bei der Division durch n und m den selben Rest (modulo n bzw. m) haben.

Gleichzeitig muss ich aber auch einen surjektiven Homomorphismus konstruieren, damit ich später für $\begin{eqnarray*} \varphi_4 \end{eqnarray*}$ die Nullabbildung verwenden kann.

Eventuell steh ich auf dem Schlauch, aber mir fällt kein Homomorphismus ein, der das leistet.

Vielen Dank schon mal für Ideen und Tips!

Mandelbrötchen

12.01.2012, 22:57

galoisseinbruder

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Hallo,

bei solchen exakten Sequenzen fange ich immer von innen an, nicht von außen.
$\begin{eqnarray*} \varphi_0, \varphi_4 \end{eqnarray*}$ können nur die Nullabbildung sein, als einzige Abbildung aus/in die Nullgruppe. Daher erwähnt man die im Allgemeinen nie.
Wie du richtig erkannt hast muss $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \end{eqnarray*}$ injektiv und $\begin{eqnarray*} \varphi_3 \end{eqnarray*}$ surjektiv sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Ker}(\varphi_3)=\{(x+n \mathbb Z, x+m \mathbb Z) \in \mathbb Z / n \mathbb Z \times \mathbb Z / m \mathbb Z \; | \;x \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ ist surjektiv falls n,m teilerfremd.

13.01.2012, 10:17

Mandelbrötchen

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Ok, das hab ich verstanden. Aber mein gewähltes $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \end{eqnarray*}$ ist doch injektiv, oder etwa nicht?

Ist $\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ nicht sogar ein Isomorphismus falls n,m Teilerfremd sind?

Und was willst mir damit sagen? Dass ich $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi_2) \end{eqnarray*}$ falsch bestimmt habe?
Könnte es eventuell auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi_2)=\{(x+n \mathbb Z,y+m \mathbb Z) \in \mathbb Z/n \mathbb Z \times \mathbb Z/ m \mathbb Z \; : \; (x+n \mathbb Z,y+m \mathbb Z) \equiv (z+n \mathbb Z, z+m \mathbb Z) \; z \in \mathbb Z \} \end{eqnarray*}$

Hab mir für $\begin{eqnarray*} \varphi_3 \end{eqnarray*}$ jetzt folgende Abbildungsvorschrift überlegt: $\begin{eqnarray*} (x+n \mathbb Z,y+m \mathbb Z) \longmapsto (x-y) + \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Da sollte der Kern dem Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ entsprechen.

13.01.2012, 12:49

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Mandelbrötchen
Ok, das hab ich verstanden. Aber mein gewähltes $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \end{eqnarray*}$ ist doch injektiv, oder etwa nicht?

Ja, es ist die Identität.

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ nicht sogar ein Isomorphismus falls n,m Teilerfremd sind?

Ja.

Zitat:

Hab mir für $\begin{eqnarray*} \varphi_3 \end{eqnarray*}$ jetzt folgende Abbildungsvorschrift überlegt: $\begin{eqnarray*} (x+n \mathbb Z,y+m \mathbb Z) \longmapsto (x-y) + \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Der tut´s.

13.01.2012, 18:53

Mandelbrötchen

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Super

Kannst du mir evtl. noch mal kurz helfen?

Schaff es nicht folgende Aussage schriftlich schön zu begründen:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi_3)=\mathbb Z/ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Hab mir folgendes überlegt:

$\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi_3) \subseteq \mathbb Z/ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist klar.

Außerdem gilt doch $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im}(\varphi_3) \supseteq \{(a+n \mathbb Z,0+m \mathbb Z) | a \in \mathbb Z \} = \mathbb Z/ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Wie ich das jedoch schön aufschreibe weiß ich grade noch nicht...

Ich bin mir sicher, dass es damit zu tun hat, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{ggT}(n,m)|n \end{eqnarray*}$ .

Wie ich es allerdings sauber begründe weiß ich im Moment nicht.

Habe auch schon folgendes überlegt:
Falls $\begin{eqnarray*} a+ \mathrm{ggT}(n,m) \not\equiv 0+\mathrm{ggT}(n,m) \Longrightarrow a+n \mathbb Z \not\equiv 0+n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , denn sonst $\begin{eqnarray*} n|a \Longrightarrow \mathrm{ggT}(n,m)|a \end{eqnarray*}$ und das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung.

13.01.2012, 19:10

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \{(a+n \mathbb Z,0+m \mathbb Z) | a \in \mathbb Z \} = \mathbb Z/ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Die Mengen sind definitiv nicht identisch.
Allerdings ist $\begin{eqnarray*} \varphi_3(\{(a+n \mathbb Z,0+m \mathbb Z) | a \in \mathbb Z \} )= \mathbb Z/ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ,
denn $\begin{eqnarray*} \varphi_3 \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist die surj. Abb. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / n \mathbb Z \to \mathbb Z /ggT(n,m) \mathbb Z ; x \mapsto x \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 19:26

Mandelbrötchen

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Tut mir leid, genau das habe ich doch gemeint...

Und wenn ich jetzt noch formal Begründen möchte, dass die Einschränkung surjektiv ist?
Genügt es folgendes zu sagen:

Sei $\begin{eqnarray*} x+ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \in \mathbb Z /\mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bel.
Wähle $\begin{eqnarray*} x+n \mathbb Z \in \mathbb Z / n \mathbb Z \Longrightarrow \varphi_3(x+n \mathbb Z)=x+ \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wenn ich die Aussagen aus dem vorherigen Post mit angebe?

13.01.2012, 19:29

galoisseinbruder

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Ich ging davon aus dass du das meinst, aufgeschrieben hast du es nicht.
Zur Surjektivität: Betrachte die Machtigkeit der zwei Gruppen.

13.01.2012, 19:33

Mandelbrötchen

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Ah ok, ich hab ja die "Identität" und es gilt $\begin{eqnarray*} | \mathbb Z / n \mathbb Z | \geq | \mathbb Z / \mathrm{ggT}(n,m) \mathbb Z | \end{eqnarray*}$ , deswegen muss es surjektiv sein.

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