Tschebyscheff (Sammlerproblem)

12.01.2012, 21:05

Fremder

Tschebyscheff (Sammlerproblem)

Hallo,

ich benötige dringend Hilfe unglücklich

Ich muss zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} P(| X-E(X) |\geq \epsilon\cdot E(X)) \end{eqnarray*}$ gegen Null strebt, wenn n gegen unendlich geht ... geschockt

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} V(X)\leq n^{2} \cdot \frac{\pi^{2} }{6} \end{eqnarray*}$

Ich weiß ja von Tschebyscheff, dass

$\begin{eqnarray*} P(| X-E(X) |\geq \epsilon)\leq \frac{V(X)}{n\cdot\epsilon^{2} } \end{eqnarray*}$

gegen 0 geht für n gegen unendlich ...

Kann ich jetzt einfach $\begin{eqnarray*} \epsilon=\epsilon\cdot E(X) \end{eqnarray*}$ setzen?

13.01.2012, 10:10

Zündholz

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RE: Tschebyscheff
Hallo,
kannst du vielleicht die genaue Aufgabenstellung wiedergeben?
So wie das dasteht gibt es zumindest meinerseits viel zu viele Unklarheiten.
Ich bin z.B. fest davon überzeugt, dass mit X eine Folge gemeint ist also sowas wie X_n oder ähnliches (sonst macht für mich die Aufgabenstellung so keinen Sinn).

Schöne Grüße

13.01.2012, 13:36

ichbingast

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RE: Tschebyscheff

Zitat:

Original von Fremder
Hallo,

ich benötige dringend Hilfe unglücklich

Ich muss zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} P(| X-E(X) |\geq \epsilon\cdot E(X)) \end{eqnarray*}$ gegen Null strebt, wenn n gegen unendlich geht ... geschockt

Die Aufgabenstellung bezieht sich auf das Sammlerproblem

Xi ~ Geo(p), p = (n-(i-1) / n)

13.01.2012, 21:04

Fremder

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RE: Tschebyscheff
Wink

Entschuldigung für meine ungenauen Angaben ...

Der Aufgabe liegt tatsächlich das Sammlerproblem zugrunde:

"Das Sammlerproblem wurde modelliert durch X = X1 + X2 + ... + Xn wobei die X1,...,Xn unabhängige Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray*} X_{i} \sim Geo(p_{i} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_{i}=\frac{n-(i-1)}{n} \end{eqnarray*}$ sind."

Im ersten Aufgabenteil muss man die Varianz $\begin{eqnarray*} V(X)=n\cdot \sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{i}{(n-i)^{2} } \end{eqnarray*}$ herleiten, das habe ich bereits getan.

$\begin{eqnarray*} P(| X-E(X) |\geq \epsilon\cdot E(X)) \end{eqnarray*}$ gegen Null strebt, wenn n gegen unendlich geht für alle Ypsilons größer Null

geschockt

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{1}{j^{2} } \leq \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray*}$ (--> ist das mein Erwartungswert??? verwirrt

)

und $\begin{eqnarray*} V(X)\leq n^{2} \cdot \sum\limits_{i=1}^{n-1} \frac{1}{(n-i)^{2} } \leq n^{2} \cdot \frac{\pi ^{2} }{6} \end{eqnarray*}$

Diese Abschätzung soll ich für den Beweis verwenden ...

14.01.2012, 12:19

Zündholz

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RE: Tschebyscheff

Zitat:

Gegeben ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{1}{j^{2} } \leq \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray*}$ (--> ist das mein Erwartungswert??? verwirrt

)

Nein, das verwendest du für die Abschätzung der Varianz. Allerdings solltest du den Erwartungswert auf jeden Fall bestimmen. Also:

$\begin{eqnarray*} E[X] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = ... \end{eqnarray*}$

Versuch den mal auszurechnen, falls du nicht weiter kommst sag bescheid.

14.01.2012, 14:00

Fremder

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Ok, das habe gemacht:

$\begin{eqnarray*} E[X] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n \frac{1}{p_{j} } =\sum_{i=1}^n \frac{n}{n-(i-1) } =n\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i } \end{eqnarray*}$

... eine harmonische Reihe :tumb:

Mit Tschebyscheff

$\begin{eqnarray*} P(| X-E(X) |\geq \epsilon\cdot E(X))\leq \frac{V(X)}{\epsilon^{2}\cdot E(X)} \end{eqnarray*}$

erhalte ich dann

$\begin{eqnarray*} P(| X-\sum_{i=1}^n \frac{1}{i }|\geq \epsilon\cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i })\leq \frac{V(X)}{\epsilon^{2} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{1}{i }} \end{eqnarray*}$

Und jetzt?

14.01.2012, 16:07

Zündholz

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soweit schonmal fast richtig,
zum einen glaube ich, dass die Summe nur bis n-1 geht, was aber für das asymptotische Verhalten keine Rolle spielt.
Zum anderen musst du den Erwartungswert auch noch quadieren.

Wenn du das gemacht hast und für Erwartungswert das n nicht vergisst, dann kannst du mal alles einsetzen (also auch die Varianz) und wegkürzen.
Was jetzt noch bleibt ist die Summe im Nenner mal einer Konstanten.

Was weißt du über den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i = 1}^n \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$

Schöne Grüße

14.01.2012, 17:35

Fremder

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Vielen Dank, ich habe die Aufgabe nun gelöst. Wink

15.01.2012, 16:46

EinGast

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Zitat:

Original von Fremder
Vielen Dank, ich habe die Aufgabe nun gelöst. Wink

wie hast du sie jetzt gelöst?

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