Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv

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Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Hallao,

auf ein Letztes. :-)

Bei der folgenden Aufgabe habe ich leider keine Lösung bei der ich mir unsicher bin sondern viel mehr habe ich keine Ahnung.

Sei f: G -> H ein Homomorphismus zwischen zwei Gruppen (G, ) und (H, )

z.z. f injektiv <-> Kern von f trivial bzw. = { }

Also muss ich beide Richtungen zeigen:

Sei f injektiv, dann bedeutet das: Seien a,b G beliebig dann f(a) = f(b) => a = b.

Wie hilft mir das denn bei dieser Aufgabe?

Ich kann mit der rechten Seite einfach recht wenig anfangen, weswegen ich auch nicht weiß wie ich dorthin komme, aber erstmal die Hinrichtung vielleicht wirds dann klarer.

Kann mir da jemand helfen? Danke schonmal :-)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Zitat:
Original von Underfaker
z.z. f injektiv <-> Kern von f trivial bzw. = { }

Es sollte wohl eher heißen.

Ist jedenfalls injektiv, ist klar, dass jedes nur ein Urbild in hat, das ist ja die Definition von Injektivität. Also hat auch nur ein Urbild. Du musst also nur zeigen, dass das gerade ist. Das ist aber nicht schwer, nutze, dass ein Gruppenhomomorphismus ist.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Vielen Dank für deine Antwort :-)

Sorry hatte mich in der Tat verschrieben.

Also ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber da f Homomorphismus bildet f das neutrale Element auf das neutrale Element ab, sonst gibt es keinen Homomorphismus, soweit ich das im Kopf habe, damit ist doch quasie gezeigt, dass das Urbild von gerade ist.

Wobei mich da die Mengenklammer irritiert, was soll denn heißen die Menge aller neutralen Elemente in H? Es gibt doch nur eins, oder?

Ist damit nun die erste Richtung gezeigt?

z.z ist f(a)=f(b) => a = b

wir wissen f() = () oder, dass das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet sagt aber noch nichts über allgemeine Elemente aus, in welche Richtung muss hier der Ansatz gehen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Zitat:
Original von Underfaker
Also ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, aber da f Homomorphismus bildet f das neutrale Element auf das neutrale Element ab, sonst gibt es keinen Homomorphismus, soweit ich das im Kopf habe, damit ist doch quasie gezeigt, dass das Urbild von gerade ist.

Ja, wenn dir das schon bekannt ist, reicht das schon als Begründung.

Zitat:
Original von Underfaker
Wobei mich da die Mengenklammer irritiert, was soll denn heißen die Menge aller neutralen Elemente in H?

Nein, das steht da doch überhaupt nicht. Die Menge aller Urbilder von eH besteht nur aus eG, DAS steht da. Mit anderen Worten: eH hat nur ein Urbild und das ist eG.

Gezeigt ist nun: Wenn f injektiv ist, dann ist der Kern trivial. Jetzt die Rückrichtung: Wenn der Kern trivial ist, dann ist f injektiv.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Kann ich denn annehmen, dass das so ist?

Also ohne Beweis, dass das neutrale Element auf da sneutrale Element abbilden muss.

Das eH nur ein Urbild hat und zwar eG ist doch eigentlich klar oder, es gibt genau ein neutrales Element und in einem Gruppenhomomorphismus bildet das neutrale auf das neutrale Element ab. Es können also nicht mehr Elemente Urbilder sein.

Jap die Rückrichtung ist denke ich das größere Problem.

Sei der Kern trivial, das heißt eH hat genau das Urbild eG.

Wie kommt man mit dieser eingrenzenden Eigenschaft auf die Injektivität? Ist das ebenfalls über den Homomorphismus zu bewältigen?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Zitat:
Original von Underfaker
Kann ich denn annehmen, dass das so ist?

Also ohne Beweis, dass das neutrale Element auf da sneutrale Element abbilden muss.

Woher soll ich das denn wissen? Ich sitz doch nicht in deiner Vorlesung. Wenn das schon dran war, darfst du es benutzen. Wenn nicht, dann nicht. Da das eine unmittelbare Folgerung aus der Definition eines Homomorphismus ist, schätze ich aber mal, dass das schon dran war. Aber warum siehst du nicht einfach nach?

Zitat:
Original von Underfaker
Sei der Kern trivial, das heißt eH hat genau das Urbild eG.

Wie kommt man mit dieser eingrenzenden Eigenschaft auf die Injektivität? Ist das ebenfalls über den Homomorphismus zu bewältigen?

Ja. Sei also der Kern trivial. Nimm mal an, es gibt g,g' in G mit f(g)=f(g'). Zeige nun, dass g=g' sein muss. Dann ist f nämlich injektiv.
 
 
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Ah ich dachte erst es stünde nicht genau drinne aber tatsächlich steht explizit im Script, dass das neutrale Element in G auf das in H abbildet.

Ja ich weiß ja was ich zu zeigen habe, das aus der Gleicheit der Bildmenge schon folgt, dass die Urbilder gleich waren.

Nur das ist ja gerade der Punkt, mit den Bedingungen die es gibt komm ich nciht weiter, ich habe grade mal die drei Sätze zum Homomorphismus im Script angesehen, allerdings weißen die auch nciht grade einen Anhaltspunkt für Injektivität aus.

Es gibt noch einen Tipp: seien g,g' in H mit f(g) = f(g') (warum auch immer H)
und nun soll man betrachten.

Hilft das hier weiter? (Ich weiß nicht für welche Richtung der Tipp gemeint ist)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Zitat:
Original von Underfaker
Es gibt noch einen Tipp: seien g,g' in H mit f(g) = f(g') (warum auch immer H)

und nun soll man betrachten. )

g und g' sollen sicher in G liegen, alles andere wäre Schwachsinn. Scheint ein Tippfehler zu sein.

Zitat:
Original von Underfaker
Hilft das hier weiter? (Ich weiß nicht für welche Richtung der Tipp gemeint ist)

Es hilft genau an dieser Stelle weiter. Spiel halt mal ein bisschen mit den Eigenschaften von Homomorphismen rum.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Ja das habe ich mir gedacht, weil das machte ja so überhaupt keinen Sinnn.

Also die drei Sätze die ich zur Verfügung habe sind: f(eg) = eH (den hatten wir schon oben)
f(a ° b ) = f(a) ° f(b)
und

also:

= =

So das ist alles was ich machen kann mit den mir zur Verfügung stehenden Sätzen, wie man sicher ahnen kann, weiß ich aber nicht ob das zielführend ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Das ist schon ganz brauchbar (nur ganz am Ende die Klammersetzung ist etwas eigenartig, aber du meinst wohl das richtige). Schreib lieber .

Tja, jetzt wäre Hingucken nicht schlecht. Wir wissen doch: f(g)=f(g')

Benutz das!
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Da f(g) = f(g') => = eH da es ja damit das inverse Element zu f(g) ist.

Das bedeutet

Das Inverse zu g' ist auch das Inverse zu g daraus folgt zwangsläufig g = g' und die Injektivität.

Sowas vielleicht?!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Ja, genau das ist die Idee.

Zitat:
Original von Underfaker
Das bedeutet

Entscheidend ist ja, dass auch wirklich das EINZIGE Element ist, dass auf abgebildet wird. Das ist ja die Voraussetzung. Also muss schon sein. Das ist bei dir etwas lasch formuliert mit dem "da f(eG)=eH", auch wenn du bestimmt das richtige meintest. Bríng da lieber das Argument "da ".

Ansonsten stimmt's aber.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Also ich ersetze, dass von dir rot makierte durch deine bessere Formulierung und dann ist der Beweis abgeschlossen? :-)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Ja.
Underfaker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus zwischen Gruppen, trivialer Kern <-> injektiv
Ich danke dir vielmals ohne diese Hilfe hätte ich das in meinem nächsten Studium nichtmal hinbekommen.

Te doy las gracias und einen schönen Abend :-)
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