linearkombination

13.01.2012, 12:07

martinio

linearkombination

guten morgen,

bin gerade bei der klausurvorbereitung und komme an einer aufgabe nicht weiter.

informationen:

V= K-Vektorraum, $\begin{eqnarray*} v_{1} , v_{2} , v_{3} \in V \end{eqnarray*}$ und linear abhängig.
Zeige $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ist eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_{2} , v_{3} \end{eqnarray*}$

Mit den Begriffen kann ich allen was anfangen und sie erklären, jedoch fehlt mir dazu die praktische Anwendung, wie z.B. hier, da ich so eine Aufgabe noch nie gerechnet habe. Allzuschwer kann diese aber nicht sein denke ich.

Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \left\{v_{1} , v_{2} , v_{3}\right\} \subset V \end{eqnarray*}$
Schreibe die Linearkombination für $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} v_{1}=\sum\limits_{i=2}^n \lambda_{n} v_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_{1}= \lambda_{2} v_{2} + \lambda_{3} v_{3} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \left\{v_{1} , v_{2} , v_{3}\right\} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind nicht alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ s = 0

hatte jetzt die Idee dort ein LGS drauß zumachen, wüsste aber nicht wie genau. Vll. Kann mir jemand helfen.
:=)

13.01.2012, 12:11

Leopold

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Der Satz ist falsch. So sind die Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_1 = (1,0,0), \ v_2 = (0,1,0) , \ v_3 = (0,0,0) \ \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$

linear abhängig. Dennoch ist $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ keine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ .

13.01.2012, 12:25

martinio

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hallo leopold.

ich glaube der satz ist richtig.

Zitat:

hier die Aufgabestellung 1:1 :Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K, $\begin{eqnarray*} v_{1} , v_{2} , v_{3} \in V \end{eqnarray*}$ linear abhängig.Zeige: $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ist eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_{2} & v_{3} \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 12:28

fleurita

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nein martinio, Leopold hat recht. Solang keine bestimmten einschränkungen dabei sind, ist der satz falsch.

13.01.2012, 12:29

Leopold

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Mit meinen obigen $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 - 13012012 \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Daher sind die Vektoren linear abhängig. Dann drücke jetzt $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ aus.

13.01.2012, 12:31

martinio

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vll. ändert der zweite teil der aufgabe etwas ?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} v_{2} , v_{3} , v_{4} \in V \end{eqnarray*}$

linear unabhängig?

Also ist die Aufgabenstellung falsch?

13.01.2012, 12:33

martinio

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Zitat:

Original von Leopold
Mit meinen obigen $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 - 13012012 \cdot v_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Daher sind die Vektoren linear abhängig. Dann drücke jetzt $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ aus.

ja dann gibt es keine LK richtig? Da v1= 0

13.01.2012, 12:49

Iorek

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Zitat:

Original von martinio
vll. ändert der zweite teil der aufgabe etwas ?

Gehört die noch mit zu den Voraussetzungen? Poste doch bitte einmal die komplette Aufgabe mit allen Angaben im Originalwortlaut.

13.01.2012, 13:00

martinio

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gerne Iorek:

Zitat:

Es seien V ein Vektorraum über einem Körper K, $\begin{eqnarray*} v_{1} , v_{2} , v_{3} \in V \end{eqnarray*}$ linear abhängig und $\begin{eqnarray*} v_{2} , v_{3} , v_{4} \in V \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

(a) Zeige: $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ ist eine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_{2} , v_{3} \end{eqnarray*}$
(b) Zeige: $\begin{eqnarray*} v_{4} \end{eqnarray*}$ ist keine Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_{1} ,v_{2}, v_{3} \end{eqnarray*}$

13.01.2012, 13:04

Iorek

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Und schon haben wir eine ganz andere Aufgabe. unglücklich

Unter diesen Voraussetzungen passt Leopolds Beispiel nicht mehr, ohne den Zusatz wäre die Aussage falsch gewesen.

Du weißt: $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig, weiter sind $\begin{eqnarray*} v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig (also können $\begin{eqnarray*} v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ schon einmal nicht der Nullvektor sein). Dann setz jetzt einmal eine Linearkombination des Nullvektors mit $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ an, daraus bekommst du dann sehr schnell Teil a).

13.01.2012, 13:56

martinio

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jo habs hinbekommen, und auch die b. uppe später die lösung :=)

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