Beweis Teilbarkeitsbehauptungen durch vollständige Induktion

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Slentando Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Teilbarkeitsbehauptungen durch vollständige Induktion
Meine Frage:
Hallo zusammen! Ich verzweifel gerade an folgender Aufgabe:

Beweisen Sie durch vollst. Induktion
Für alle nEN 0 gilt: 6 teilt( n^4-n^2)

Im induktionsschluss bin ich bis folgenden Punkt gekommen:

n^4-n^2+4n^3+6n^2+2n

Ich weiß nicht, wie ich weiter umformen kann, dass 4n^3 und 2n durch 6
Teilbar sind.

Oder habe ich einen ganz anderen Fehler!?

Meine Ideen:
Leider finde ich keinen Fehler...
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist kein Fehler, es liegt an der Methode. Tja, ich weiß nicht, wer sich immer wieder ausdenkt, derartige Teilbarkeitsaufgaben "m teilt f(n) für alle n" durch vollständige Induktion beweisen zu lassen:


Ist f(n) ein Polynom vom Grad k, so reduziert ein Induktionsschritt a la f(n+1) = f(n) + r(n) das auf ein Restpolynom r(n) vom Grad k-1, für das die Teilbarkeit durch m fast ebenso schwer nachweisbar ist - vielleicht wieder durch Induktion...

Im vorliegenden Fall liegt für k=4 sowie genau diese Dilemma vor.


Man kann natürlich auch geschickter vorgehen, indem man im Induktionsschritt iterierte Differenzen wirken lässt, im vorliegenden Fall z.B.

.

Der Induktionsanfang wird dann natürlich etwas umfänglicher. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Teilbarkeitsbehauptungen durch vollständige Induktion
Man kann auch so vorgehen:



Es ist leicht einzusehen, daß n * (n -1) * (n+1) durch 3 teilbar ist. Der Rest ist dann klar. smile
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man so argumentiert, dann kann man auch gleich schreiben und die ganze Induktion kippen. Sie bringt dann keinen Mehrwert, sondern nur Mehrarbeit.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist durchaus richtig. Augenzwinkern
Slentando Auf diesen Beitrag antworten »

leider muss ich das aber als Induktion schreiben:

Ich brauche einen Tipp für die Auflösung:



und sind ja durch I.V. bzw. offensichtlich durch 6 teilbar.

Blos gibt es keinen Trick (Erweiterung oder so) damit man die anderen beiden Terme so umformen kann?
 
 
Slentando Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand sagen, ob ich denn ein Gleichzeichen setzen muss und dahinter sowas wie 6t schreiben muss?

Wenn ja, wie forme ich das ganze Dann um??
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, so richtig zugehört hast du nicht, weder klarsoweit noch mir...


Egal, ich vereinfache mal meinen Vorschlag von oben:

Zitat:
Original von René Gruber
Man kann natürlich auch geschickter vorgehen, indem man im Induktionsschritt iterierte Differenzen wirken lässt, im vorliegenden Fall z.B.

.

Es klappt bereits mit dem einfacheren Ansatz

.

Die Vollständige Induktion wirkt dann so: Aus der Teilbarkeit von f(n) sowie f(n-1) durch 6 folgt auch diese Teilbarkeit von f(n+1), sofern man nachweist, dass der Restterm r(n) auch durch 6 teilbar ist. Der Induktionsanfang ist dann für n=0 sowie n=1 durchzuführen.
Slentando Auf diesen Beitrag antworten »

leider kann ich damit nichts anfangen..

bin leider kein großes ass auf diesem gebiet..

Könntet ihr mir das noch anders erklären?

Liebe Grüße
Levke
Terra1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Heyho, vielleicht bleibst du verständnishalber bei der Induktion...
Du hast schon richtig gesehen:
. Das kannst du ja umschreiben zu: .
Mit IV weißt du, dass durch 6 teilbar ist. Also bleibt noch . Habs kurz durchprobiert, wenn du jetzt darüber wieder eine neue Induktion machst klappt es wunderbar.
Slentando Auf diesen Beitrag antworten »

Ok... und welchen Induktionsanfang nutze ich dafür? Bzw. welche Vorraussetzung?
Slentando Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen:

Habe es jetzt noch einmal mit der Induktion versucht:

Muss ich nicht eigentlich nur 4n^3+2n als Induktion neu verfassen?

Da komme ich aber auch auf das Ergebnis:

4n^3+12n^2+14n+6

Kann ich keine passende Begründung schreiben?
Terra1337 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja du machst für eine neue Induktion. Anfang zB für für n=1 ist es durch 6 teilbar. Voraussetzung wie üblich für alle n.
Musst dich irgendwo verrechnet haben. Ich bekomme:
= (einfach auseinandergezogen...)
ist nach IV durch 6 teilbar. Beim Rest kann man es direkt ablesen. Fertig.
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