Lösungsmenge bestimmen: 3x4 Matrix * x = b

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13.01.2012, 14:08	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
*Lösungsmenge bestimmen: 3x4 Matrix x = b Meine Frage:** Hey leute bräuchte mal euren Rat bei dieser Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge Ax=b A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 17 & 32 & 8 \\ 3 & 18 & 18 & 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 15 \\ 315 \\ 255 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Mein Ansatz ist jetzt folgender: Der Vektor mit dem ich A multipliziere wäre ja x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann hab ich mir gedacht ich stelle die erweiterte Koeffizientenmatrix auf (A,b) = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 2 & 17 & 32 & 8 & 315 \\ 3 & 18 & 18 & 11 & 255 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und forme sie mit Gauß auf die Einheitsmatrix? & das was dann in der letzten Spalte steht, ist meine Lösungsmenge? ist das so richtig? bzw checke nicht wie ich das mit Gauß umformen soll
13.01.2012, 15:00	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Lösungsmenge bestimmen: 3x4 Matrix x = b** wenn ich dann Gauß anwende komme ich nur bis hier: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\0 & 15 & 30 & 6 & 285\\ 0 & 0 & -15 & 2 & -60 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.01.2012, 15:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ist das richtig, nur wirst Du bei einer 3x4-Matrix niemals eine Einheitsmatrix erzeugen können, da diese stets quadratisch sind. Du wirst Dir am Ende der Umformungen also etwas einfallen lassen müssen, um die Lösung(en) abzulesen. EDIT: Das bezog sich auf Deinen ersten Beitrag. Im zweiten hast Du dann ja die richtige Form erzeugt. Überlege Dir nun, wieviel Gleichungen Du hast und wieviele Variablen. Oder anders: Wieviele Gleichungen fehlen Dir, um eine eindeutige Lösung zu erhalten? Wieviele musst Du also künstlich hinzufügen?
13.01.2012, 15:18	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal danke für die Antwort Also ich habe nebenher mal den Rang von (A)^3x4 bestimmt. Die Anzahl der Linear unabh. Spaltenvektoren war 3, was ja gleich der Anzahl der Zeilen ist, also ist A universell lösbar. Heißt es gibt keine eindeutige Lösung sondern ich muss mir, wie du schon gesagt hast, irgendwie Zeilen dazu denken. D.h. ich brauche 1 weitere Zeile damit ich eine 4x4 Matrix habe oder? sieht das dann so aus ? (wobei $\begin{eqnarray} \lambda \in \end{eqnarray}$ aus dem Körper) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 2 & 17 & 32 & 8 & 315 \\ 3 & 18 & 18 & 11 & 255 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.01.2012, 15:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Zeile steht für die Gleichung $\begin{eqnarray} 0=\lambda \end{eqnarray}$ und trägt somit nicht wirklich zur Lösung bei. Du hast richtig erkannt, dass eine zusätzliche Gleichung fehlt. Diese darf die Lösbarkeit des bisherigen Systems aber nicht beeinträchtigen und dient nur dazu die frei wählbaren Variablen zu definieren.
13.01.2012, 15:32	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
also kann eine weitere Nullzeile nicht helfen? Ich meine damit würde ich die Lösbarkeit ja nicht verändern oder? oder wäre so etwas sinniger: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\ 2 & 17 & 32 & 8 & 315 \\ 3 & 18 & 18 & 11 & 255 \\ a & b & c & d & e \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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13.01.2012, 17:04	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
achso oder eher sowas: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 15 \\0 & 15 & 30 & 6 & 285\\ 0 & 0 & -15 & 2 & -60 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
13.01.2012, 17:45	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mal versucht damit weiter zu rechnen & komme dann nacher auf: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & -7/15\lambda \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 11-2/3\lambda \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 4+2/15\lambda \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus folgt dann, dass meine Lösungsmenge lautet: L ={ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 11 \\ 4 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -7/15 \\ -10/15 \\ 2/15 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ }
13.01.2012, 17:45	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
passt das so?
13.01.2012, 18:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Verfahren ist ok, aber anscheinend hast Du Dich bei den Umformungen vertan, denn der erste Vektor ist keine Lösung des Ausgangssystems. Hab jetzt nicht alles nachgerechnet, aber die -60 in der dritten Zeile (zweites Posting von Dir) dürften der Fehler sein.
13.01.2012, 19:00	Jens92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hattest recht da war was falsch. Da musste statt -60, -75 hin. Dann würde mein Ergebnis so aussehen: L ={ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -7/15 \\ -10/15 \\ 2/15 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ } Wenn das soweit richtig ist, dann vielen lieben Dank für die schnelle & kompetente Hilfe ! Spitzenforum
14.01.2012, 07:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt sieht es gut aus

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