Klein'sche V4 Gruppe

15.01.2012, 00:11

Matzemathiker

Klein'sche V4 Gruppe

hallo Leute,

wiveiele Elemente sind mindestens notwendig, um die Gruppe $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ zuerzeugen.

Ich zweifel zwar nicht an meiner Lösung von 4 Elementen, aber ich frage vorsichtshalber nochmal vorsichtig.

Stimmt das?

15.01.2012, 00:14

Matzemathiker

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RE: Klein'sche V4 Gruppe
Und wo wir grad über GRUPPEN REDEN1 Sind Gruppen unendlicher Ordnung stets kommutativ.

Ich denke vom rein logischen her, dass das nicht unbedingt sein muss ?!

15.01.2012, 00:19

tmo

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Wie sollen denn für eine Gruppe mit 4 Elementen mind. 4 Erzeuger nötig sein?

$\begin{eqnarray*} G \setminus \{e\} \end{eqnarray*}$ erzeugt doch immer G, d.h. ein Element kann man immer weglassen. Und man sieht leicht ein, dass man sogar noch eins weglassen kann.

Und zu der anderen Frage: Natürlich gibt es unendliche Gruppen, die nicht kommutativ sind, z.b. $\begin{eqnarray*} Sym(M) \end{eqnarray*}$ für eine unendliche Menge M.

15.01.2012, 00:36

Matzemathiker

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zu der Frage bzgl. der $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ geht es also , um ein Erugendensystem mit nur einem Element. Also was heisst das jetz tkonkret zu der Gruppe $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ ?

wenn ich mir das neutrale Element $\begin{eqnarray*} \left\{ e\right\} \end{eqnarray*}$ also nehme, kann ich damit doch aber nicht $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ erzeugen

15.01.2012, 11:44

Kimi_R

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RE: Klein'sche V4 Gruppe

Zitat:

Original von Matzemathiker
Und wo wir grad über GRUPPEN REDEN1 Sind Gruppen unendlicher Ordnung stets kommutativ.

Ich denke vom rein logischen her, dass das nicht unbedingt sein muss ?!

Denk zum Beispiel an Matrizen-Gruppen

Zitat:

Original von Matzemathiker
zu der Frage bzgl. der $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ geht es also , um ein Erugendensystem mit nur einem Element. Also was heisst das jetz tkonkret zu der Gruppe $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ ?

wenn ich mir das neutrale Element $\begin{eqnarray*} \left\{ e\right\} \end{eqnarray*}$ also nehme, kann ich damit doch aber nicht $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$ erzeugen

Wie kommst du jetzt darauf, dass es ein Erzeugendensystem mit nur einem Element geben soll? Das hat tmo nicht mal ansatzweise angedeutet

Schreib dir doch mal die Multiplikationstabelle der Gruppe hin. Dann schau dir an, welches Element der Gruppe was für Untergruppen der V4 erzeugt.

Und natürlich kann man mit dem neutralen Element keine Gruppe mit Ordnung echt größer 1 erzeugen.

15.01.2012, 14:50

Matzemathiker

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Untergruppen wären in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \left\{ e\right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left\{ e, a \right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left\{ e,b\right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \left\{ e,c\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ e,a,b,c\right\} \end{eqnarray*}$

die untergruppen erzeugen jetzt doch nicht die Gruppe $\begin{eqnarray*} V_{4} \end{eqnarray*}$

15.01.2012, 14:58

tmo

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} ab \end{eqnarray*}$ ?

15.01.2012, 17:06

Matzemathiker

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? weiss ich nicht. auf jeden fall keine untergruppe

15.01.2012, 17:08

tmo

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Du sollst einfach nur ausrechnen, was rauskommt, wenn man in der kleinschen Vierergruppe $\begin{eqnarray*} V=\{e,a,b,c\} \end{eqnarray*}$ mal ab berechnet.

15.01.2012, 17:51

Matzemathiker

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für $\begin{eqnarray*} \left\{ a,b\right\} \end{eqnarray*}$ bekomme ich nur die elemente e,c

15.01.2012, 20:47

Matzemathiker

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ist hier noch jemand ? hab ich das richtig gemacht ?

15.01.2012, 21:04

tmo

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Zitat:

Original von Matzemathiker
für $\begin{eqnarray*} \left\{ a,b\right\} \end{eqnarray*}$ bekomme ich nur die elemente e,c

Was genau meintest du damit? Evtl. bist du auf dem richtigen Weg...

Zähle noch mal alle Elemente auf, die in einer Untergruppen sein müssen, in der schon a und b drin sind.

15.01.2012, 21:16

Matzemathiker

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in einer untergruppe müssen

das inverse, abgeschlossenheit und es darf nicht die leere menge sein.

wenn man sich nun nur die zeile und spalten von una und b asnschaut
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline \odot & e & a & b & c \\ \hline \hline e & e & a & b & c \\ \hline a & a & e & c & b \\ \hline b & b & c & e & a \\ \hline c & c & b & a & e \\ \end{array} \end{eqnarray*}$

dann habe ich die elemnte c und e

15.01.2012, 21:41

tmo

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Ja, d.h. c und e müssen drin sein. Und a und b sind ja sowieso drin. Also schon die ganze Gruppe. Was kannst du dann darüber aussagen, ob die beiden Elemente a und b die Gruppe erzeugen? Tun sie es oder nicht?

15.01.2012, 21:46

Matzemathiker

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ja, aber dann verstehe ich eine sache nicht. a, b erzeugen zwar e,c aber sie erzeugen sich ja quasi selbst nicht?!

ich dachte, dass müssten sie bei einer untergruppe tun ?!

15.01.2012, 21:47

tmo

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Jedes Element erzeugt trivialerweise sich selbst.

15.01.2012, 21:48

Matzemathiker

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somit würde es jetzt auch mit den elementen b,c egehn, da wir aus den beiden a und e erhalten. richtig?

15.01.2012, 21:49

Matzemathiker

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Zitat: