nichtlineare DGL

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02.07.2004, 16:27	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
nichtlineare DGL Ich suche eine Lösung bzw. eine Methode zum Lösen folgender DGL für y(x): $\begin{align} dy/dx+sin(y(x))=Q(x) \end{align}$ oder für die substituierte DGL für z=exp(iy): $\begin{align} adz/dx+z^2/2=izQ(x)+1/2 \end{align}$
02.07.2004, 19:38	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo HarryDone Aber zunächst was soll Q(x) sein? gruß mathemaduenn
03.07.2004, 00:20	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Q(x) soll eine beliebige Funktion , ich brauche also eine ganz allgemeine Lösung. Ich hätte z.B. für Q(x)=x schreiben können, dann wäre der Lösungsweg aber zu speziell. Vielleicht weisst du was ich meine, wenn ich meinen Lösungsweg für die allgemeine DGL 1. Ordnung mal aufschreibe: $\begin{align} dy/dx+y=Q(x) \end{align}$ $\begin{align} d/dx(uy)=udy/dx+ydu/dx=Q(x)R(x) \end{align}$ $\begin{align} dy/dx+1/udu/dxy=R(x)/uQ(x) \end{align}$ nach Koeffizientenvergleich mit Ausgangs-DGL und Integration von 1=1/udu/dx bekomme ich für u und R: $\begin{align} u=exp(x) \end{align}$ $\begin{align} R(x)=u \end{align}$ somit gilt: $\begin{align} d/dx(yexp(x))=Q(x)exp(x) \end{align}$ $\begin{align} y=exp(-x)int( Q(x)exp(x), dx )+exp(-x)C1 \end{align}$ Was für mich eine ganz allgemeine Lösung darstellt. Suchen tu ich eigentlich eine analoge Lösungsmöglichkeit, vielleicht kannst du oder jemand anders mir weiterhelfen,würde mich sehr freuen
05.07.2004, 13:50	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done, wenn Du bei der substituierten Form nochmals substituierst $\begin{align} u= \Bigint_ {}~{\frac{z(x)}{2a}} ~dx \end{align}$ so sollte eine lineare Differentialgleichung 2.Ordnung entstehen. Sofern ich mich erinnere kann man sowas auch allgemein lösen.Kannst ja mal in ein Buch schauen, dass z.B. "Gewöhnliche Differentialgleichungen" heißt. Gruß mathemaduenn
05.07.2004, 16:30	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe aber die erste DGL nach z=exp(i*y(x)) substituiert. Die Funktion z(x), die du meinst, müsste eigentlich z(y(x)) lauten. Nur weiss ich nicht, wie ich jetzt den Wert für u bestimmen soll. Integrieren kann ich z(y(x)) nicht, da ich ja y(x) suche. Für das a muss gelten a=1, hab ich vergessen zu eliminieren.
05.07.2004, 19:00	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry done 1. substituieren 2. lösen 3. zurücksubstituieren korrigier mich wenn ich irre aber bei DGL 2 kann ja nur eine Funktion von x rauskommen. aber die Substitution war ohnehin falsch. $\begin{align} u=e^{\Bigint_{}~\frac{z}{2} ~dx } \end{align}$ so sollte es sein. Dann ist $\begin{align} z=\frac{2u'}{u} \end{align}$ usw. Wenn Du das gelöst hast kannst Du 2x zurücksubstituieren. Aber wie gesagt muß erstmal gelöst sein. gruß mathemaduenn
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05.07.2004, 19:54	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein,dass du mir den Lösungsweg für die DGL $\begin{align} dz/dx+R(x)z=Q(x) \end{align}$ vorschlägst, wobei du R(x)=z(y(x)) setzt. Wenn ich deine Substitution nach z auflöse bekomme ich $\begin{align} z=2/u \end{align}$ $\begin{align} dz/dx=dz/dudu/dx=-2/u^2du/dx \end{align}$ Wenn ich diese Substitutionen einsetzte erhalte ich: $\begin{align} du/dx+[iQ(x)]u-u^2/4=1 \end{align}$ welche die gleiche Gestalt besitzt, wie die vorherige. Solltest du bereits eine Lösung haben, wäre ich froh,wenn du mir sie zeigen könntest. Sofern sie die Ausgangsgleichung $\begin{align} dy/dx+sin(y)=Q(x) \end{align*}$ erfüllt.
05.07.2004, 21:37	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done $\begin{align} z'-iQ(x)z+\frac{z^2}{2}= \frac{1}{2} \end{align}$ $\begin{align} z=\frac{2u'}{u} \end{align}$ $\begin{align} z^2=\frac{4u'^2}{u^2} \end{align}$ $\begin{align} z'=\frac{2u''u-2u'^2}{u^2} \end{align}$ einsetzen und mit u/2 multiplizieren $\begin{align} u''- iQ(x)u'- \frac{u}{4} = 0 \end{align}$ So meinte ich das. Dies ist eine lineare homogene Differentialgleichung 2.Ordnung für die es meiner Meinung nach "Allgemeine" Lösungen gibt. gruß mathemaduenn
06.07.2004, 20:09	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele Dank für deine Substitution, konnte die DGL lösen und komme auch mit Einsetzen in die Ausgangs-DGL auf Q(x).Eine kleine Frage hätte ich allerdings noch, war die Wahl der Substitution dadurch bedingt, dass sowohl z^2 als auch z' den Quotienten u^2 aufweisen und somit die Substitution z=f(u)/u am nähsten liegt, um z^2 zu eliminieren. Ich habe z=f(u)/u mal in die DGL eingebracht und komme mittels Koeffizientenvergleich auf: $\begin{align} f(u)^2/2u-u'f(u)/u=0 \end{align}$ $\begin{align} f(u)=2u' \end{align}$ ,was du ja vorgeschlagen hast. Oder kann man in diesem Fall die notwendige Substitution ohne Zusatzrechnung auf "den ersten Blick" erkenne.
06.07.2004, 23:47	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done Ist mir nicht so eingefallen. Aber das ich das schon mal gesehen hatte schon. heißt Ricatti - DGL. z=u'/u zu substituieren ist dann wohl Standard und man kann sich auch überlegen das man mit 1 durch das was bei z^2 steht multiplizieren muß selbst wenn das eine Funktion sein sollte die muß dann halt immer ungleich null sein. Wäre schön wenn Du deine Lösung noch posten könntest jetzt interesssiert's mich auch. Nur noch so als Anmerkung an deinem Ansatz muß man schon ein wenig überlegen denn f(u) ist ja keine Funktion im eigentlichen Sinn sondern ein Ableitungsoperator. Ob man da ganz "normal" rechnen kann??? Aber hier geht's ja gut. gruß mathemaduenn
07.07.2004, 17:28	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Es war wohl etwas übertrieben, zu schreiben"ich habe die DGL gelöst".Ich hätte besser schreiben sollen,dass es mir gelungen ist einen speziellen Fall aus der noch von mir vereinfachte letzte DGL zu lösen. Nur um zu sehen, ob die endlos lange Gleichung letztenendes überhaupt passt. Um eine allgemeine Lösung aufzustellen, stört mich momentan der veränderliche Koeffizient in der DGL. Wie gesagt habe ich die letzte DGL von dir nochmal substituiert und zwar mit: $\begin{align} u(x)=v(x)exp(i/2int(Q(x),dx)) \end{align}$ und komme dann auf folgende DGL, mit deren speziellen Lösung, ich bis auf die Ausgangs-DGL zurückrechnen konnte. $\begin{align} d^2v/dx^2 +v [Q(x)^2-1/4]=0 \end{align}$ Inhomogene DGLs mit veränderlichen Koeffizienten kann ich in bestimmten Fällen zwar berechnen, wenns allgemein sein soll geht mir das Wissen leider aus. Ich bin aber mit der momentanen Methode schon sehr zufrieden und selbst wenn es eine allgemeine Lösung gibt, wird diese durch die Rücksubstitutionen so dermaßen in die Länge gezogen,dass man so langsam den Überblick verlieren kann. Spätestens bei y=-iln(2/u*du/dx) wirds hässlich. Falls du eine allgemeine Lösung zu meiner letzten DGL weisst oder sie nicht stimmt,kannst ja nochmal bescheid sagen,ansonsten danke für deine Bemühungen.
07.07.2004, 23:04	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done, Ob die Substitution richtig überblick ich jetzt nicht. aber die letzte Gleichung sieht prima lösbar aus. Trennung der Veränderlichen heißt das Zauberwort. Hier hatte ich's schonmal beschrieben. gruß mathemaduenn
08.07.2004, 06:54	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht in diesem Fall doch leider nicht so gut wie es in deinem Link funktioniert. Da in der DGL im Link nur Ableitungen von x(t) auftauchen kann man, wie ich selbst schon dort geschrieben hab mit dx/dt=z substituieren. Nur in unserem Fall würde ich bei der Substitutioen z=dv/dx zwar den Grad senken, allerdings würde das, v(x)=int(z(x),dx) ergeben und mir eine Intergalgleichung bescheren. Hab noch nicht weiter an eine zusätzliche Substitution gedacht, wenn mir eine einfällt dann schicke ich sie nochmal.
08.07.2004, 12:51	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done Bei der letzten von Dir geposteten DGL müsste man. 1/v bzgl. dv 2 mal integrieren und Q(x)^2 -1/4 bzgl. dx 2 mal. Danach zurücksubstituieren. Dies wird nicht so einfach sein. Ich versteh aber nicht wo da von vornherein ein Problem liegt. gruß mathemaduenn
08.07.2004, 16:18	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Das würde allerdings bedeuten, dass folgende Integrale identisch wären $\begin{align} \int_{}^{}~\int_{}^{}~1/v(x)~dv^2 \end{align}$ $\begin{align} \int_{}^{}~\int_{}^{}~1/v(x)~d^2v \end{align}$ sollten sie identisch sein, komme ich auf: $\begin{align} v(ln(v)-1)=\int_{}^{}~\int_{}^{}~[1/4-Q(x)^2]~dx^2 \end{align}$ womit wir bei der LambertW- Funktion gelandet wären,habe noch nach v aufgelöst nur habe ich keine Lust diesen Ausdruck hier komplett einzugeben. Bist du dir auch sicher dass die Integrale gleich sind, wenn ich die Schreibweise v''=v(1/4-Q(x)^2) sehe würde ich dass fast glauben,nur versuche mal v''=v erst mit der von dir vorgeschlagenen Trennung der Veränderlichen und anschließend als homogene DGL v''-v=0 zu lösen. Wenn ich die Lösung der homogenen DGL in v(ln(v)-1) einsetzte komme ich in diesem Fall nicht auf 1/2*x^2.
09.07.2004, 19:43	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Harry Done Da lag ich wohl arg daneben und hab auch nochmal nachgeblättert "Allgemeine" Lösungen für lin. DGL 2. Ordnung gibt's wohl auch nicht.(Hab mal nachgeschlagen) Höchstens sehr allgemein mit irgendwelchen Matrix Exponentialfunktion. gruß mathemaduenn

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