Kontraktion bzg. der Maximumsnorm

15.01.2012, 15:53	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Kontraktion bzg. der Maximumsnorm Meine Frage: Betrachtet wird die Fixpunktaufgabe $\begin{eqnarray} x=\Phi(x), x=\begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \Phi(x)=\frac{1}{6} \begin{pmatrix} \xi e^{-\eta^2}+\xi \eta+3 \\ log(1+\eta^2+\xi^2)-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray} I=[0,1]\times[-1,1] \end{eqnarray}$ . Weisen Sie die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes nach, zeigen Sie, dass die Lipschitzkonstante $\begin{eqnarray} L=\frac{5}{6} \end{eqnarray}$ bezüglich der Maximumsnorm ist (Hinweis: Mittelwertsatz). Meine Ideen: Dass es sich um eine Selbstabbildung handelt, habe ich schon gezeigt. Aber bei der Kontraktion hänge ich noch. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung wäre doch $\begin{eqnarray} \|\Phi(x_1)-\Phi(x_2)\|=\|\nabla\Phi(y)\|\|x_1-x_2\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i:=(\xi_i,\eta_i)^T, y\in (x_1,x_2) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \|\Phi(x_1)-\Phi(x_2)\|\le \sup_{y\in I}\|\nabla\Phi(y)\|\|x_1-x_2\| \end{eqnarray}$ ? Dann müsste ich also zeigen, dass $\begin{eqnarray} 0<sup_{y\in I}\|\nabla\Phi(y)\|<1 \end{eqnarray}$ ist. Dann handelt es sich um eine Kontraktion und ich muss noch die Konstraktionskonstante bezüglich der Maximumsnorm berechnen. Oder kann ich die ganze Abschätzung auch gleich mit der Maximumsnorm machen? Dann wäre doch aber $\begin{eqnarray} \|\|\nabla \Phi(y)\|\| \end{eqnarray}$ die Zeilensummennorm oder?

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