lineare Abbildung - Inverse

15.01.2012, 17:08	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildung - Inverse Hallo Allerseits, ich arbeite gerade an folgender Aufgabe und komme nicht weiter: Es sei V der $\begin{eqnarray} \mathbb(R) \end{eqnarray}$ -Vektorraum der Polynome P in einer Variablen x mit reellen Koeffizienten. Wir definieren die Funktionen $\begin{eqnarray} T:V \to V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D:V \to V \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} T(P)=xP \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D(P)=P' \end{eqnarray}$ , wobei P' die Ableitung von P nach x beschreibt. a)Zeigen Sie: D und T sind linear auf V. Bestimmen Sie TD-DT b)Zu $\begin{eqnarray} F:V \ to V \end{eqnarray}$ heißt $\begin{eqnarray} G: V \to V \end{eqnarray}$ rechtsinvers bzw. linksinvers, falls $\begin{eqnarray} F \cdot G = id \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} G \cdot F=id \end{eqnarray}$ . Entscheiden sie (mit Beweis) ob D und T Rechts oder Linksinverse besitzen. c) Entscheiden Sie, ob die in b) gefundenen Umkehrfunktionen linear sind. Also die a) war kein Problem, jedoch komm ich mit der b) nicht so ganz klar. Ich habe mir folgendes Überlegt für die Inversen: $\begin{eqnarray} Y(P)=x^{-1}P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(T)=Y(T(P))=Y(xP)=x^{-1}xP=P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T(Y)=T(Y(P))=T(x^{-1})=xx^{-1}P=P \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X(P):=\int \! P \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D(X)=D(X(P))=D(\int \! P \, dx)=(\int \! P \, dx)'=P \end{eqnarray}$ Stimmt dieser Ansatz, oder ist das falsch? Vielen Dank für die Hilfe
16.01.2012, 09:59	Puumaa	Auf diesen Beitrag antworten »
lieare Abb Hey L.H. kann dir leider nicht helfen.Meinen Namen mag ich dir jetzt nicht schreiben,könnt dir aber ne mail schickn?haben au schon miteinander geredet,in ana oder al.von mir war neulich die zusatz. Wie hastn du die a) gemacht?also nicht die linearität,sondern TD-DT?das ist ja ne Hintereinanderausführung,dann aber noch eine andere Verknüpfung...u wieder Verkettung?
16.01.2012, 15:04	DudiPupan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Ja, klar schreib mir ne Mail Ah, okay, von dir war die Zusatzaufgabe! In diesem Sinne vielen Dank Hat mir sehr geholfen! Also bei der a) Habe ich einfach ein Polynom der Form: $\begin{eqnarray} P_1 :=\sum\limits_{i=1}^\infty a_i x^i \end{eqnarray}$ Und dann berechnest du einfach mal: $\begin{eqnarray} TD-DT=T(D(P_1))-D(T(P_1))=T(P'))-D(xP)=T(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i i x^{i-1})-D(\sum\limits_{i=1}^\infty a_i x^{i+1})=\sum\limits_{i=1}^\infty a_i i x^i-\sum\limits_{i=1}^\infty a_i i x^i \end{eqnarray}$

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