Trigonometrie, Sinussatz, Kosinussatz

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15.01.2012, 20:33	PeZZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie, Sinussatz, Kosinussatz Meine Frage: Hallo, ich hab da eine Aufgabe, wo ich nicht weiter weiß. Es wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte. So ich stelle erstmal die Aufgabe. Drei Orte A, B, C bilden ein Dreieck mit den Seitenlängen AB= 2,840 km, BC= 5,450 km und AC= 3,020km. Die Ortschaften B und C sollen von A aus ferngeheizt werden. Unter welchem Winkel muss in A mit der Rohrverlegung begonnen werden. Meine Ideen: So meine Überlegung wäre jetzt, a= 5,45km GK b= 3,02km H c= 2,84km AK In dem Dreieck wären jetzt a=Gegenkathete, b=Hypotenuse und c=Ankathete. Ich würde jetzt cosinus=AK/H. So, dann müsste ich cos(alpha)=2,84/3,02 Da kommt dann 0,940 raus, wenn ich dass dann bei cos^-1(0,940) einsetzte kommt für alpha dann 19,948 raus. Ich hab die Werte aber bei einem Online Rechner zur Überprüfung eingegeben und da kommt dann raus, dass alpha 136,9 Grad , Beta 22,3 und Gamma 20,9 Grad ergibt. Kann mir jemand sagen, was ich falsch mache?
15.01.2012, 20:39	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie, Sinussatz, Kosinussatz Hallo, bedenke, dass das Dreieck wahrscheinlich nicht rechtwinklig ist, es gibt also weder Hypothenuse noch Katheten, auch die Formel $\begin{eqnarray} \cos (x)=A/H \end{eqnarray}$ gilt nicht. Wie im Titel ja schon steht (o.O) ist hier der Kosinussatz das Mittel der Wahl, also $\begin{eqnarray} c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ , wobei Gamma c gegenüberliegt. LG Hoodaly
15.01.2012, 21:02	PeZZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, erstmal danke für die Info, dass es weder Hypothenusen, noch Katheten gibt. Wenn ich dann Werte in die Formel einsetze steht dann $\begin{eqnarray} c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,84^2=5,45^2+3,02^2-25,453,02\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8,07=29,7+9,12-32,92\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} 2,17=\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ aber wie mache ich weiter?
15.01.2012, 21:44	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Pass mit den Bezeichnern auf. Du willst den Winkel an A berechnen, also liegt die Strecke BC dem Winkel gegenüber. Da in der allgemeinen Form Gamma der Strecke c gegenüberliegt, muss AC=c sein, a und b sind dann die anderen beiden Strecken. Danach brauchst du die Umkehrfunktion vom Kosinus, auch Arkuskosinus genannt. Auf deinem Taschenrechner heißt die Taste wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \cos^{-1} \end{eqnarray}$ Damit gilt dann: $\begin{eqnarray} \cos{x}=y\Leftrightarrow\arccos{y}=x \end{eqnarray}$ Pass auf, dass der Taschenrechner auf Gradmaß und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist.
15.01.2012, 22:06	PeZZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wieso ist denn AC=c und nicht b? Wir sollen ja den Winkel Alpha berechnen und gegenüber von Alpha ist ja die Seite b.
15.01.2012, 22:14	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, ich habe mich vertippt. c ist natürlich BC, da du den Winkel, der BC gegenüberliegt berechnen willst. Für deine bisherige Variablenvergabe (1. Post) heißt der Kosinussatz: $\begin{eqnarray} a^2=b^2+c^2-2bc\cos{(\alpha)} \end{eqnarray}$
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15.01.2012, 22:25	PeZZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
also dann kommt da in den Kosinussatz: $\begin{eqnarray} a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5,45^2=3,02^2+2,84^2-23,022,84\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 29,7=9,12+8,07-6,042,84\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 29,7=17,19-17,15\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 29,7=0,04\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 29,66=\cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ oder... und wie rechne ich jetzt weiter?
15.01.2012, 22:45	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, dass zwischen 2bc und cos ein Mal steht, kein Plus. Wenn du dann wieder soweit bist, dass $\begin{eqnarray} x=\cos(\alpha) \end{eqnarray}$ ist, dann nimmst du $\begin{eqnarray} \cos^{-1}(x)=\alpha \end{eqnarray}$ LG
15.01.2012, 22:57	PeZZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
hmmmm sorry, aber ich komm immer auf 29,66. Und ich habe beachtet, dass da kein Plus steht.
15.01.2012, 23:07	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
5. Zeile: Wie kommst du da auf 0,04? 6. Zeile: Warum ziehst du einfach 0,04 ab, obwohl du hättest teilen müssen? LG Hoodaly
15.01.2012, 23:17	PeZZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhhhhhhhhhhhhh nu hab ich es gesehen ich hab einige Rechenzeichen nicht gesehen dann kommt für (x) -0,73 raus und eingesetzt kommt da jetzt 136,886 raus. Viele Dank für deine Hilfe
15.01.2012, 23:24	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, dass ich mich einmische. $\begin{eqnarray} c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2,84^2=5,45^2+3,02^2-25,453,02\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8,07=29,7+9,12-32,92\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} 2,17=\cos(\gamma) \end{eqnarray}$ Der Wert 2,17 ist falsch. Bitte nochmal prüfen !
15.01.2012, 23:44	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
@PeZZo: Stimmt, genau @Mathe-Maus: Wir waren doch schon viel weiter, und jetzt hat er das richtige raus
15.01.2012, 23:46	Mathe-Maus	Auf diesen Beitrag antworten »
@Hoodaly: In meinem Einwurf geht es um Gamma (siehe Anfang). Der zuletzt berechnete Winkel ist Alpha ..
16.01.2012, 00:09	Hoodaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, weil er die falschen Bezeichner genommen hat. Gamma braucht er garnicht.

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