Zylindervolumen in Abhängigkeit von a

17.01.2012, 15:55

Haselnuss

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Zylindervolumen in Abhängigkeit von a

Meine Frage:
Welcher von allen Zylindern, die einer Kugel vom Radius a > 0 eingeschrieben werden
können, hat das größte Volumen? Bestimmen Sie die Größe dieses in Abhhangigkeit von a

Meine Ideen:
Formel zur Berechnung des Volumens ist mir bekannt:

Volumen = Grundflächenradius mal Höhe = G*h = $\begin{eqnarray*} \pi r² *h \end{eqnarray*}$

Hmm ich glaube ich verstehe nicht einmal die Aufgabenstellung richtig...Wie soll ich anfangen, an die Aufgabe herangehn? Ich bin total ahnungslos.

17.01.2012, 17:14

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Hast du dir mal eine Skizze gemacht? Wie sieht der Zylinder in der Kugel aus?

Wo kann da der Kugelradius ins Spiel kommen?

smile

smile

17.01.2012, 17:26

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Naja der Zylinder berührt die Kugel an bestimmten Punkten und die Zylinderachse fällt mit der Kugelachse zusammen ?

17.01.2012, 17:27

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Was meinst du mit Achse? verwirrt

verwirrt

17.01.2012, 17:30

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Die gedachte "Linie" wo der radius maximal ist

17.01.2012, 17:34

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Ich denke, wir sollten mal eine Zeichnung verwenden:

[attach]22723[/attach]

Dem Kugelradius a habe ich grün gezeichnet, der Radius des Zylinders ist lila.
Ich sehe nicht, dass ein Radius maximal wird. Gesucht ist vielmehr das maximale Volumen. smile

smile

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17.01.2012, 17:34

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
könntest du vielleicht iwie mal ne Zeichnung machen und die hier einbinden ? ich glaub das würde helfen.

17.01.2012, 17:39

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Vielleicht kannst du dir ja jetzt Gedanken zur Haupt- und Nebenbedingung machen. smile

smile

17.01.2012, 17:48

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Upps, Danke. Das sieht mir wie ein rechtwinkliges Dreieck aus, folglich kann ich den Pythagoras verwenden : Kugelradius²= h²+Zylinderradius²

Hauptbedingung : $\begin{eqnarray*} V= \pi r²*h \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung: ?

Ich steh komplett aufm Schlauch bei dieser Aufgabe, ich frage mich wie ich mein Abi geschafft habe Oo

17.01.2012, 17:51

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Die NB hast du gerade genannt: Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Haselnuss
Kugelradius²= h²+Zylinderradius²

Der Kugelradius ist ja a, und mit Hilfe dieser Gleichung kannst du eine der beiden Variablen in der HB so ersetzen, dass du nur noch eine Variable hast.

smile

smile

17.01.2012, 18:02

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Ist das Volumen des Zylinders maximal wenn der Kugelradius gleich dem Zylinderradius ist ?

17.01.2012, 18:05

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Überlege mal, wie der Zylinder aussähe, wenn er den Kugelradius annehmen würde. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2012, 18:14

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Ich glaube das wäre dann kein Zylinder mehr bzw. der wäre dann nicht mehr komplett in der Kugel.

Sei Zylinderradius ZR.
Also aus der Nebenbedingung folgt : $\begin{eqnarray*} ZR=\sqrt{a²-h²} \end{eqnarray*}$ das setzt ich dann für r in die Hauptbedingung ein und erhalte : $\begin{eqnarray*} V=\pi (a²-h²)*h \end{eqnarray*}$ dann hab ich aber noch immer zwei Variablen a und h

17.01.2012, 18:21

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a

Zitat:

Original von Haselnuss
Ich glaube das wäre dann kein Zylinder mehr bzw. der wäre dann nicht mehr komplett in der Kugel.

Naja, er könnte in der Kugel sein, aber er hätte dann keine Höhe mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Haselnuss
Sei Zylinderradius ZR.
Also aus der Nebenbedingung folgt : $\begin{eqnarray*} ZR=\sqrt{a²-h²} \end{eqnarray*}$ das setzt ich dann für r in die Hauptbedingung ein und erhalte : $\begin{eqnarray*} V=\pi (a²-h²)*h \end{eqnarray*}$ dann hab ich aber noch immer zwei Variablen a und h

Es ist nicht die ganze Zylinderhöhe h, die da in dem rechtwinkligen Dreieck steckt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten ist dein Vorgehen richtig.

Gehe davon aus, das a keine Variable ist.

smile

smile

17.01.2012, 18:31

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Big Laugh

Big Laugh

ok, also nur die halbe Höhe, der Zeichnung nach zu urteilen, aber warum?

$\begin{eqnarray*} V=\pi (a²-\frac{h}{4}² )*h \end{eqnarray*}$ so richtig? Und jetzt Maximum bestimmen nehm ich an

17.01.2012, 18:36

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Ja, es ist die halbe Höhe. Und das ist so, weil der Mittelpunkt der Kugel ein Eckpunkt des Dreiecks ist und weil der Zylinder ja symmetrisch in der Kugel liegen muss.

Und ja, deine Gleichung ist richtig, jetzt kannst du ableiten. smile

smile

17.01.2012, 18:54

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
$\begin{eqnarray*} V=\pi (a²-\frac{h}{4}² )*h = \pi ha²-\frac{\pi h³}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Ableitung = 2\pi ha - \frac{3\pi h²}{4} V^{'} (0)= \frac{8\pi a}{3\pi } =\frac{8}{3} a \end{eqnarray*}$ , da jetzt für h einsetzen : maximale Volumen $\begin{eqnarray*} =\pi \frac{8}{3} a³- \frac{\pi \frac{8}{3}a^{4} }{4} \end{eqnarray*}$

17.01.2012, 19:05

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Das kann so nicht sein: a^4 kann nicht in der Volumenformel auftauchen.

Mir scheint auch, dass du einmal nach a und einmal nach h abgeleitet hast.
Dein Volumen ist aber V(h). Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: Schade, dass keine Rückmeldung mehr kam.

17.01.2012, 21:22

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Ich rechne jetzt erst weiter , hatte nen dringenden Termin. Sorry, dass ich nichts gesagt habe!

17.01.2012, 21:25

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Alles klar. smile

smile

17.01.2012, 21:37

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
$\begin{eqnarray*} V^{'}(h)= \pi a²-\frac{3\pi }{4} h² \end{eqnarray*}$ so und jetzt setze ich:

$\begin{eqnarray*} V^{'}(h)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=\pi a²-\frac{3\pi }{4} h² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{3\pi }{4} h²=\pi a² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h²=\frac{4\pi a²}{3\pi } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{\frac{4\pi a²}{3\pi }} \end{eqnarray*}$

und jetzt setze ich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ in die Ausgangsgleichung $\begin{eqnarray*} V(h) \end{eqnarray*}$ ein:
$\begin{eqnarray*} V(\sqrt{\frac{4\pi a²}{3\pi }} )=\pi * \sqrt{\frac{4\pi a²}{3\pi } } *a²-\frac{\pi *\sqrt{\frac{4\pi a²}{3\pi } } }{4} \end{eqnarray*}$ und das müsste das maximale Volumen sein?

17.01.2012, 21:46

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Du solltest unbedingt vereinfachen.
Schon das h kannst du einfacher darstellen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du dann das r² ersetzt? Nutze dazu die NB.

smile

smile

17.01.2012, 21:59

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
NB: $\begin{eqnarray*} ZR=\sqrt{a²-h²} \end{eqnarray*}$ ZR hab ich für r eingesetzt, ich denke dass ich damit r ersetzt habe, aber da du nachfragst hab ich das wohl nicht richtig gemacht. Für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ könnte ich auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{a²-ZR²} \end{eqnarray*}$ schreiben, aber damit hab ichs glaub ich nicht wirklich vereinfacht. Wie ichs einfacher darstellen kann, seh ich leider nicht.

17.01.2012, 22:09

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{\frac{4\pi a²}{3\pi }}= \frac{2}{3}a \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Zu r²: $\begin{eqnarray*} r^2= a^2- \frac{1}{4}h^2 \end{eqnarray*}$

Und jetzt kann das h² ersetzt werden. smile

smile

17.01.2012, 22:22

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Muss es nicht so aussehn: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4\pi a²}{3\pi }} = \frac{2a}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$ , wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3}a\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ?

17.01.2012, 22:24

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{3} } = \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Üblicherweise macht man den Nenner wurzelfrei. smile

smile

17.01.2012, 22:32

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi2a²}{3} * \frac{2a}{\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$ so musses sein, denk ich

17.01.2012, 22:36

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
moment das mit dem Minus stimmt nicht

17.01.2012, 22:36

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Warum hast du da ein Minus stehen? verwirrt

verwirrt

17.01.2012, 22:37

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
habs korrigiert

17.01.2012, 22:42

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Du kannst es eigentlich noch ein bisschen eleganter zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} V = \frac{4}{9}\pi a^3 \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

smile

smile

17.01.2012, 22:52

Haselnuss

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
ok.

Vielen Vielen Dank für deine Hilfe und vorallem für deine Geduld mit so einem schwierigen Patienten Big Laugh

Big Laugh

Wink

17.01.2012, 22:57

sulo

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RE: Zylindervolumen in Abhämgigkeit von a
Mir hat es Spaß gemacht, und schön, dass wir den Thread abgeschlossen haben. smile

smile

Wink

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