Galoisgruppe bestimmen

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Roonex Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe bestimmen
Gegeben ist das Polynom
Davon soll man den Zerfällungskörper bestimmen und den Grad von , die Galoisgruppe und den Zwischenkörperverband.

Leider habe ich kaum Zeit mich mit diesem Thema auseinanderzusetzen deswegen verstehe ich nicht gerade viel traurig

Auf jeden Fall habe ich die Nullstellen ermitteln können, aber weiß nicht wie ich weiter vorzugehen habe. Ich vermute dass für den Grad 4, 6, 8, 12 oder 24 in Frage kommen könnte, da die Galoisgruppe eine Untergruppe von sein sollte.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Fragen an dich:
1) Ist das Polynom irreduzibel?
2) Was sind die Nullstellen, die du bestimmt hast?

Damit solltest du mit scharfem Hinsehen die Frage nach der Ordnung der Galoisgruppe (=Grad der Körpererweiterung!) schon mal beantworten können.

Der Frage nach dem Isomorphietyp kann man dann mit deiner Überlegung, dass die Galoisgruppe Untergruppe von sein muss, nachgehen.
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen dass es über irreduzibel ist ( da es bereits über irreduzibel ist).

Nullstellen:






Hab ich mit Substition gemacht, dann und Rücksubstitution.

Naja, wenn man über eine der Nullstellen den Stammkörper bildet, dann sollte es wohl Grad 4 haben, wenn f damit das zugehörige Minimalpolynom ist, oder?

Wenn das so ist, könnte der Grad des Zerfällungskörpers aber immer noch 4,8,12 oder 24 sein...

Wobei der Fall Grad 4 glaub ich auch wegfällt, da sonst der Zerfällungskörper bereits über so einem Stammkörper zerfallen würde... oder?

Bin in Algebra extrem wackelig unterwegs, sorry.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Irreduzibilität und Nullstellen stimmen.

Zitat:
Original von Roonex
Naja, wenn man über eine der Nullstellen den Stammkörper bildet, dann sollte es wohl Grad 4 haben, wenn f damit das zugehörige Minimalpolynom ist, oder?

Wenn du mit 'Stammkörper' (Begriff ist mir nicht geläufig) den Körper mit eine der Nullstellen meinst, ja.
Wähle mal für konkret eine der reellen Nullstellen. Welche komplexe Zahl musst du jetzt nur noch hinzuadjungieren, um einen Körper zu erhalten, der bereits alle Nullstellen umfasst?
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit Stammkörper meine ich eben das.

Also, wenn ich das mal so ausreche, müsste die komplexe Zahl lauten, wenn ich von der Nullstelle auf die Nullstelle kommen will.

Soll ich jetzt ein Minimalpolynom von dieser Zahl ausrechnen?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hinweis von mir eben war ein bisschen zu vage, entschuldigung. (Ich dachte erst, dass es einfacher wäre.)

Das Produkt von erster und dritter Nullstelle muss im Körper N liegen, das ist:

Diese komplexe Zahl meinte ich.

Kannst du jetzt den Grad ablesen?
 
 
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann wohl einer der Zwischenkörper, , also zwischen und . Diese Körpererweiterung hat Grad 2.

Das hatte ich mir auch schon überlegt, aber dann brauch ich ja noch, welchen Grad über hat, um den Gradsatz anwenden zu können?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Besser andersherum überlegen, die reelle Nullstelle zuerst: haben wir. Und Es kann wegen nicht sein, daher muss sein.

Für den Isomorphietyp der Galoisgruppe kann man sich z.B. überlegen, dass alle Untergruppen von der Ordnung 8 zueinander isomorph sind. Dann muss man nur eine kennen.
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, habe grade nachgeschaut, das dürfte dann die Diedergruppe sein?

Wenn ich also alle Untergruppen der kenne, kann ich daraus dann unmittelbar auf die Zwischenkörper schließen?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist Dass alle 8-elementigen Untergruppen isomorph sind, folgt z.B. aus dem Sylowschen Satz.
Du müsstest die Untergruppen von noch mit Untergruppen der Galoisgruppe identifizieren, um dann die Zwischenkörper mit dem Hauptsatz der Galoistheorie als Fixkörper zu ermitteln. Dazu braucht man natürlich gewisse Elemente, von denen man schon weiß, dass sie in der Galoisgruppe liegen.
Alternativ kann man auch eine Liste von Zwischenkörpern bilden und aufhören, wenn man so viele hat wie Untergruppen von Da sind eine Menge Untergruppen von Ordnung 2 dabei, also müsste man viele Zwischenkörper finden, die Grad 4 über Q haben. (Das könnte umständlich werden, also ist wohl der erste Ansatz vorzuziehen)

edit: Es bietet sich an, ein Element der Ordnung 4 in der Galoisgruppe zu suchen, das dann der Drehung um 90 Grad in D4 entspricht und ein Element der Ordnung 2, das einer der Spiegelungen entspricht. (für das zweite z.B. die komplexe Konjugation)
Roonex Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Zwischenkörper habe ich jetzt nicht explizit ausgerechnet, aber die Struktur der Körper zwischen und als Diagramm gezeichnet (haben wir in der Vorlesung auch einmal so getan).

Das reicht mir auch fürs erste.

Vielen Dank für deine Hilfe, manche Dinge sind mir heut durchaus klarer geworden smile
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