stoch.Unabh. von Familie

14.01.2007, 19:20

Schmonk

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stoch.Unabh. von Familie

Servus!

Meine Frage: Stimmt meine Lösung? Sie ist relativ kurz und ich bin mir nicht sicher, ob ich das formal so richtig aufgeschrieben habe bzw. ob das so überhaupt geht, wie ich mir das denke. Ich habe noch ziemliche Probleme im Umgang mit Zufallsvariablen, vor allem was den korrekten Formalismus angeht. Mag jemand bitte mal drüberschauen? Ich weiß, dass es etwas Überwindung kostet, so einen langen Eintrag zu lesen, aber wo du schon bis hierhin gelesen hast, kannst du doch bitte auch noch den Rest anschauen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Meine Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray*} ((\Omega_j,\mathcal{A}_j))_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine Familie (nichttrivialer) meßbarer Räume. für jedes $\begin{eqnarray*} j\in J \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_j \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ -Zufallsvariablen, derart dass $\begin{eqnarray*} P(\{X_j\neq Y_j\})=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Begründen sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) Die Familie $\begin{eqnarray*} (X_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ ist stochastisch unabhängig bezüglich P.
(ii)Die Familie $\begin{eqnarray*} (Y_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ ist stochastisch unabhängig bezüglich P.

Meine Lösungsidee:
Sei $\begin{eqnarray*} (X_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~~~~P(\bigcap_{j\in K}X_j)=\Pi_{j\in K}P(X_J)~~~~~~~~~~\forall\text{ endliche Teilmengen }K\subseteq J \end{eqnarray*}$
Es gilt
$\begin{eqnarray*} P(Y_j)=P(\{Y_j=X_j\}\cup\{Y_j\neq X_j\})=P(\{Y_j=X_j\})+\underbrace{P(\{Y_j\neq X_j\})}_{=0}=P(\{Y_j=X_j\})=P(X_j) \end{eqnarray*}$
Und damit:

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned}P(\bigcap_{j\in K}Y_j)&=P(\{\bigcap_{j\in K}Y_j=\bigcap_{j\in K}X_j\})+\underbrace{P(\{\bigcap_{j\in K}Y_j\neq \bigcap_{j\in K}X_j\})}_{=0}\\&=P(\bigcap_{j\in K}X_j)\\&=\Pi_{j\in K}P(X_j)\\&=\Pi_{j\in K}\left(P(\{X_j=Y_j\})+\underbrace{P(\{X_j\neq Y_j\})}_{=0}\right)\\&=\Pi_{j\in K}P(Y_j)\end{aligned} \end{eqnarray*}$

Analog folgt die andere Implikation.

Gerade bei dem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} P(Y_j)=P(\{Y_j=X_j\}\cup\{Y_j\neq X_j\}) \end{eqnarray*}$

bin ich recht unschlüssig, ob man das so hinschreiben darf. Ich denke mein Gedankengang ist nachvollziehbar, aber ist es auch richtig niedergeschrieben?
Danke schon mal!

Grüße!

14.01.2007, 19:33

AD

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Kurze Frage: Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße ist, was verstehst du dann unter der Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ , mit der du da so eifrig rumrechnest? Ich kenne $\begin{eqnarray*} P(X) \end{eqnarray*}$ nur als symbolische Kurzform für die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ - das ist dann aber keine einfache Zahl, auch keine Wahrscheinlichkeit!

14.01.2007, 19:47

Schmonk

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Argh, Mist! Du hast natürlich Recht! All die Arbeit umsonst und dabei sieht es so schön aus.
Ich hatte nur auf die Def für stoch. Unabhängigkeit von Familien aus der Sigma-Algebra geschaut und das einfach auf die Zufallsvariablen übertragen.
Ich wusste es war zu leicht.

Also muss ich so ansetzen:

$\begin{eqnarray*} (X_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ ist stoch. unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} (X^{-1}_j(\mathcal{A}_j))_{j\in J} \end{eqnarray*}$ stoch. unabhängig ist.

Da taucht bei mir natürlich gleich mal die Frage auf, wie ich mir $\begin{eqnarray*} X^{-1}_j(\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ vorstellen kann. Das ist das Urbild der kompletten Sigma-Algebra und Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ? Jetzt fehlt mir irgendwie die komplette Vorstellung bzw. eine Idee für den Beweis. Kannst du mich bitte mal sanft in die richtige Richtung stubsen? Muss ich eventuell über die Erzeuger der Sigma-Algebra gehen?

14.01.2007, 19:56

AD

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Naja, statt $\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{j\in K} Y_j \right) \end{eqnarray*}$ musst du sowas wie $\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{j\in K} [Y_j\in B_j] \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ -Borelmengen $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ betrachten, wobei es da verschiedene Schreibweisen gibt:

$\begin{eqnarray*} [Y_j\in B_j] = Y_j^{-1}(B_j) = \left\{ \omega\in\Omega \Bigm| Y_j(\omega)\in B_j \right\} \end{eqnarray*}$ .

Entscheidend ist sicherlich die Möglichkeit der Zerlegung

$\begin{eqnarray*} [Y_j\in B_j] = [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \cup N_j \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} N_j\subseteq [X_j\neq Y_j] \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} N_j \end{eqnarray*}$ ist eine P-Nullmenge, wie aus den Voraussetzungen sofort folgt ... Das müsste schon erstmal weiterhelfen.

EDIT - Korrektur: Statt " $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ -Borelmengen $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ " muss es einfach " $\begin{eqnarray*} B_j\in\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ " heißen . Der Rest vom Beitrag ist davon nicht betroffen, stimmt also ohne weitere Änderungen.

14.01.2007, 20:01

Schmonk

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das müsste schon erstmal weiterhelfen.

Ja, ich denke schon. Danke!

14.01.2007, 23:54

Schmonk

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Also ich habe es jetzt so gemacht:
$\begin{eqnarray*} (i)\Rightarrow(ii) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{aligned}P(\bigcap_{j\in K} Y_j^{-1}(\mathcal{A}_j))&=P(\bigcap_{j\in K}\left\{\omega\in\Omega|Y_j(\omega)\in\mathcal{A}_j\right\})\\&=P(\{\omega\in\Omega|\exists l\in K:Y_l\in\bigcap_{j\in K}\mathcal{A}_j\})\\&=P(\{\omega\in\Omega|\exists l\in K:Y_l\in\bigcap_{j\in K}\mathcal{A}_j\wedge Y_l(\omega)=X_l(\omega)\}\cup\{\omega\in\Omega|\exists l\in K:Y_l\in\bigcap_{j\in K}\mathcal{A}_j\wedge Y_l(\omega)\neq X_l(\omega)\})\\&=P(\{\omega\in\Omega|\exists l\in K:X_l\in\bigcap_{j\in K}\mathcal{A}_j\}+\underbrace{P(\{\omega\in\Omega|\exists l\in K:Y_l\in\bigcap_{j\in K}\mathcal{A}_j\wedge Y_l(\omega)\neq X_l(\omega)\})}_{=0}\\&=P(\bigcap_{j\in K} X_j^{-1}(\mathcal{A}_j))\\&=\ldots\\&=\Pi_{j\in K}P(Y_j^{-1}(\mathcal{A}_j))\end{aligned} \end{eqnarray*}$

Der Rest ist dann nur noch Schreibarbeit, sofern denn jetzt der Anfang so stimmt(?). Ist das "Es existiert ein l aus K ..." richtig bei dem Schnitt der Mengen oder muss $\begin{eqnarray*} Y_j(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\in K \end{eqnarray*}$ in dem Schnitt der Algebren sein? Ich war mir nicht ganz sicher, aber so macht es für mich mehr Sinn.

Dank, Gruß und gute Nacht

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15.01.2007, 11:35

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Für mich macht das leider überhaupt keinen Sinn. unglücklich

unglücklich

Fangen wir mal mit

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{j\in K} \left\{ \omega\in\Omega \Bigm| Y_j(\omega)\in\mathcal{A}_j \right\} \end{eqnarray*}$

an. Oben waren die $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ noch die Sigma-Algebren zum Definitionsbereich der $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ , jetzt verwendest du sie Zusammenhang mit dem Bildbereich der reellwertigen Zufallsgrößen???

Ich hab nicht umsonst oben von Borelmengen $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ gesprochen, genau die sind es, die hier zu betrachten sind. Du bist also im völlig falschen Raum gelandet...

Ok, ersetzen wir mal die Sigma-Algebren $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ (bzgl. $\begin{eqnarray*} \Omega_j \end{eqnarray*}$ ) durch Elemente $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ der zum Bildraum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ gehörenden Borel-Sigmaalgebra:

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{j\in K} \left\{ \omega\in\Omega \Bigm| Y_j(\omega)\in B_j \right\} \end{eqnarray*}$

Nächster Punkt: Die ganze Sache mit dem "es gibt ein $\begin{eqnarray*} l\in K \end{eqnarray*}$ ..." ist völlig rätselhaft. Du hast für jedes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ die Zuordnung $\begin{eqnarray*} Y_j(\omega)\in B_j \end{eqnarray*}$ , wie willst du die derart aufbrechen? So geht das überhaupt nicht.

15.01.2007, 15:54

Schmonk

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Oje, da tun sich Abgründe bei mir auf. Ich muss mir wohl erstmal noch einiges anschauen, bevor ich diese Aufgabe sinnvoll bearbeiten kann.
verwirrt

verwirrt

Mir ist zB gar nicht klar, wieso du die Borelmenge verwenden willst. Woraus liest du, dass es sich um eine reelle ZV handelt? Aber mir fiel eben auch gerade auf, dass ich gar nicht so wirklich weiß, was $\begin{eqnarray*} (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ -Zufallsvariable eigentlich bedeutet. Also ich dachte es heißt, dass eben gerade $\begin{eqnarray*} (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ der Bildraum ist.

Das mit dem Schnitt verstehe ich nun mit der Borelalgebra so:
$\begin{eqnarray*} \left\{\omega\in\Omega|Y_j(\omega)\in\mathfrak{B}_1\right\} \end{eqnarray*}$
Ist die Menge aller $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , so dass das Bild der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Y_j \end{eqnarray*}$ in der Borel-Sigma-Algebra liegt. Somit gilt für
$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{j\in K}\left\{\omega\in\Omega|Y_j(\omega)\in\mathfrak{B}_1\right\} \end{eqnarray*}$
dass dies nun alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ beschreibt, von denen das Bild jeder Zufallsvariablen in der Borel-Sigma-Algebra liegt.
(Vorher ging ich von verschiedenen Sigma-Algebren als Bildbereich aus und da hätte es für den Schnitt gereicht, wenn das Bild einer Zufallsvariablen im Schnitt aller Algebren liegt. Aber du sagst $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist der Bildraum und es gibt ja eben nur diese eine Borel-Sigma-Algebra, was auch nicht dran ändert, wenn ich die j-mal mit sich selbst schneide.)

Also würde ich jetzt so ansetzten:
$\begin{eqnarray*} \begin{aligned}P(\bigcap_{j\in K}Y_j^{-1}(\mathfrak{B}))&=P(\bigcap_{j\in K}\left\{\omega\in\Omega|Y_j(\omega)\in\mathfrak{B}\right\})\\&=P(\{\omega\in\Omega|\forall j\in K:Y_j\in\mathfrak{B}\})\end{aligned} \end{eqnarray*}$
Entspricht das eher dem, was du meintest?

Doch ich wollte jetzt nochmal anfügen, wie wir es in der Lesung definiert haben:

Def :Seien $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray*} ((\Omega_j,\mathcal{A}_j))_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine Familie meßbarer Räume. Für jedes $\begin{eqnarray*} j\in J \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ -Zufallsvariable auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},P) \end{eqnarray*}$ . Dann heißt die Familie $\begin{eqnarray*} (X_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig bezüglich P, falls die Familie $\begin{eqnarray*} (X_j^{-1}(\mathcal{A}_j))_{j\in J} \end{eqnarray*}$ stochastisch unabhängig bezüglich P ist.

Ich finde da passt meine Interpretation besser hinzu. Aber ich finde ja auch, das mein Gestümpe von oben Sinn macht. Also gebe ich mal auf meine Interpretation nicht soviel Wert.

Dabei fällt mir ein, dass ich dann " $\begin{eqnarray*} (X_j^{-1}(\mathcal{A}_j))_{j\in J} \end{eqnarray*}$ ist stochastisch unabhängig" zeigen muss, indem ich jede mögliche Wahl von Mengen $\begin{eqnarray*} A_j\in X_j^{-1}(\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} j\in K \end{eqnarray*}$ (endl. Teilmenge von J), untersuche auf die Gültigkeit von:
$\begin{eqnarray*} P(\bigcap_{j\in K}A_j)=\Pi_{j\in K}P(A_j) \end{eqnarray*}$

Hmm...wie soll das denn gehen? Ich kenne doch die konkreten Mengen gar nicht. Vielleicht finde ich ja noch ein passendes Lemma/Korollar oder einfach eine Bemerkung. Ich mache mich erstmal auf den Heimweg.

Vielen vielen Dank für deine Mühe!

15.01.2007, 17:17

AD

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Zitat:

Original von Schmonk
Aber mir fiel eben auch gerade auf, dass ich gar nicht so wirklich weiß, was $\begin{eqnarray*} (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ -Zufallsvariable eigentlich bedeutet. Also ich dachte es heißt, dass eben gerade $\begin{eqnarray*} (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ der Bildraum ist.

Peinlich, da hast du wohl recht. Hammer

Hammer

Ok, um es ganz klar zu sagen: $\begin{eqnarray*} X_j,Y_j \end{eqnarray*}$ sind messbare Funktionen von $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A}) \to (\Omega_j,\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$

Ok, dann also doch keine Borelmengen. Aber auch nicht $\begin{eqnarray*} Y_j(\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} Y_j(A_j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A_j\in\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ sind da innerhalb der Wahrscheinlichkeit zu betrachten.

P.S.: Zum Glück bin ich bereit einen Fehler zuzugeben. Andere im Forum leider nicht.

15.01.2007, 17:29

Schmonk

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Zitat:

Original von Arthur Dent
[...]sondern $\begin{eqnarray*} Y_j(A_j) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A_j\in\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ sind da innerhalb der Wahrscheinlichkeit zu betrachten.

Puh! Ok, das leuchtet mir jetzt ein. Ich probiere mich nochmal's dran. Das mit der stoch. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen streubt sich irgendwie dagegen, in meinen Kopf zu gelangen. Ich schreibe später mal hierhin, was ich denn dann nun raus habe. Hoffentlich klappt dann der 3. Versuch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Arthur Dent
P.S.: Zum Glück bin ich bereit einen Fehler zuzugeben.

Eine sehr wichtige Eigenschaft, erhalte dir das. Gott

Gott

Und ich danke dir dafür, denn ich hatte mich mittlerweile gefragt, ob ich in den letzten beiden Semestern W-Theorie überhaupt etwas verstanden habe.

Grüße!

15.01.2007, 17:44

AD

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Ich sehe schon, ich bin heute nicht gut drauf (ich kann mir auch denken warum):

Jedenfalls habe ich oben natürlich die Inversen vergessen: $\begin{eqnarray*} Y_j^{-1}(A_j) \end{eqnarray*}$ , klar.

15.01.2007, 17:47

Schmonk

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War mir aufgefallen, aber ich hatte dich schon verstanden und wollte nicht noch Salz auf die Wunde streuen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.01.2007, 18:05

AD

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Danke.

Augenzwinkern

Jedenfalls habe ich die Kurzanleitung oben entsprechend korrigiert, und so würde ich dir auch raten vorzugehen:

Wenn du $\begin{eqnarray*} [Y_j\in B_j] = [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \cup N_j \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{j\in K} [Y_j\in B_j] \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann erhältst du ja zunächst

$\begin{eqnarray*} \bigcap\limits_{j\in K} \left( [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \cup N_j \right) \end{eqnarray*}$

Mit etwas Umformungen gemäß üblichen Distributivgesetzen kannst du das in

$\begin{eqnarray*} \left( \bigcap\limits_{j\in K} [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \right) \cup N \end{eqnarray*}$

mit einer anderen P-Nullmenge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ umformen - jedenfalls gilt dann also

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{j\in K} [Y_j\in B_j] \right) = P\left( E \cap \bigcap\limits_{j\in K} [X_j\in B_j] \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E = \bigcap\limits_{j\in K} [X_j=Y_j] \end{eqnarray*}$

Dann überlegst du dir mal kurz, warum $\begin{eqnarray*} P(E)=1 \end{eqnarray*}$ ist; und warum aus $\begin{eqnarray*} P(E)=1 \end{eqnarray*}$ für jedes Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} P(A)=P(A\cap E) \end{eqnarray*}$ folgt - kennst du ja vielleicht schon. Damit bist du dann bei

$\begin{eqnarray*} P\left( \bigcap\limits_{j\in K} [Y_j\in B_j] \right) = P\left(\bigcap\limits_{j\in K} [X_j\in B_j] \right)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

und das ist ja dann im wesentlichen auch schon alles: Zum einen kannst du das ja jetzt auch für einelementige Mengen K nutzen, also
$\begin{eqnarray*} P\left( Y_j\in B_j \right) = P\left(X_j\in B_j \right) \end{eqnarray*}$ , zum anderen kannst du rechts in (*) nun das Unabhängigkeitsprodukt für die $\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ verwenden... smile

smile

15.01.2007, 22:01

Schmonk

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Danke für diesen "Leitfaden", an dem werde ich mich versuchen langzuhangeln bzw. habe es schon versucht.
Irgendwie klappt das heute von vorn bis hinten nicht. Ich glaube, ich muss mich erstmal schlafen legen. Das Wocheende war etwas zu Studiumslastig, mir raucht der Kopf.
Aber nochmal zwei kleine Fragen zum Verständnis:
1)
$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j]\stackrel{?}{=}X_j^{-1}(B_j)\cap Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

2) Du sagst, ich solle $\begin{eqnarray*} Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_j\in\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ auf stoch. Unabh. untersuchen. Verstehe ich dich da richtig? Nach gründlicher Lektüre meiner Lesungsmitschriften würde ich eher $\begin{eqnarray*} B_j\in Y_j^{-1}(\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ auf stoch. Unabhängigkeit überprüfen. Oder ist das letzlich äquivalent?

Gruß!

Edit: text

15.01.2007, 22:27

AD

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Zitat:

Original von Schmonk
$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j]\stackrel{?}{=}X_j^{-1}(B_j)\cap Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

Die eine Richtung

$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \subseteq X_j^{-1}(B_j)\cap Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

ist richtig, die andere hingegen i.a. falsch: Betrachte doch nur mal $\begin{eqnarray*} B_j=\Omega_j \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} [X_j=Y_j] \stackrel{?}{=} \Omega \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray*} X_j=Y_j \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Schmonk
2) Du sagst, ich solle $\begin{eqnarray*} Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_j\in\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ auf stoch. Unabh. untersuchen. Verstehe ich dich da richtig? Nach gründlicher Lektüre meiner Lesungsmitschriften würde ich eher $\begin{eqnarray*} B_j\in Y_j^{-1}(\mathcal{A}_j) \end{eqnarray*}$ auf stoch. Unabhängigkeit überprüfen. Oder ist das letzlich äquivalent?

Ist richtig, aber wenn man es so schreibt, ist es kein Wunder, dass der Kopf raucht: Die $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ in dem Satz haben jeweils unterschiedliche Bedeutung. Besser schreibt man also so:

$\begin{eqnarray*} Y_j^{-1}(\mathcal{A}_j) = \left\{ Y_j^{-1}(B_j) \Bigm| B_j\in \mathcal{A}_j \right\} = \left\{ C_j\in\mathcal{A} \Bigm| \exists B_j\in \mathcal{A}_j\;\mbox{mit}\; C_j=Y_j^{-1}(B_j) \right\} \end{eqnarray*}$

Ich hab mal die Indizes bei $\begin{eqnarray*} B_j,C_j \end{eqnarray*}$ hier beibehalten, obwohl es hier in dieser Identität eigentlich Quatsch ist - da könnte man auch gleich kurz $\begin{eqnarray*} B,C \end{eqnarray*}$ schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2007, 20:20

Schmonk

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Schmonk
$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j]\stackrel{?}{=}X_j^{-1}(B_j)\cap Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

Die eine Richtung

$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \subseteq X_j^{-1}(B_j)\cap Y_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

ist richtig, die andere hingegen i.a. falsch: Betrachte doch nur mal $\begin{eqnarray*} B_j=\Omega_j \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet das umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} [X_j=Y_j] \stackrel{?}{=} \Omega \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray*} X_j=Y_j \end{eqnarray*}$ .

Hmm...stimmt auch wieder, aber ich bin wohl ein wenig mit der Notation überfordert, was bedeutet dann diese Notation mit den eckigen Klammern? Ich kenne nur die mit den Urbildern.
Oben meintest du schon

$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j]=X_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich und auf Grundlage dessen, habe ich das einfach bei deinen Erklärungen versucht für mich umzudeuten. Aber wie kann ich dann

$\begin{eqnarray*} [X_j\neq Y_j] \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} [X_j\in%20B_j,X_j=Y_j] \end{eqnarray*}$

verstehen?

Und ja, mit den $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ 's war ich etwas schlampig im aufschreiben, ich hätte ein Tilde-Zeichen drüber setzen sollen. Bezieht sich in diesem Zusammenhang dann dein "ist richtig" auf die von mir vermutete Äquvivalenz?

Nochmals Danke, normalerwiese bin ich nicht so begriffsstutzig. verwirrt

verwirrt

16.01.2007, 22:55

Schmonk

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Ich weiß, Doppelposts und "gepusche" sind unerwünscht, aber bei mir drängt langsam die Zeit.

Also ich habe das jetzt verstanden, wie du das meinst und warum das alles so gilt, wie es eben gilt. Aber um das sauber aufzuschreiben bräuchte ich nur nochmal eine Erklärung/Definition von der eckigen-Klammern-Notation.
Bittebittebitte. Gott

Gott

16.01.2007, 23:04

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Zitat:

Original von Schmonk
aber ich bin wohl ein wenig mit der Notation überfordert, was bedeutet dann diese Notation mit den eckigen Klammern? Ich kenne nur die mit den Urbildern.
Oben meintest du schon

$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j]=X_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

Stimmt.

Ich bin auch kein Freund nicht erklärter Notationen. Deswegen hatte ich die Erklärung hier

stoch.Unabh. von Familie

geliefert. Diese Syntax - mit Ausnahme der eckigen Klammern - ist ja auch konform mit der üblichen Wkt-Schreibweise:

$\begin{eqnarray*} P(X_j^{-1}(B_j)) \end{eqnarray*}$ ist - obwohl völlig richtig - eher selten anzutreffen, dagegen $\begin{eqnarray*} P(X_j \in B_j) \end{eqnarray*}$ öfter. Noch krasser ist es für spezielle $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ wie z.B. $\begin{eqnarray*} B_j=(-\infty,t] \end{eqnarray*}$ :

Was sieht man häufiger: $\begin{eqnarray*} P(X_j^{-1}((-\infty,t])) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(X_j\leq t) \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

16.01.2007, 23:10

Schmonk

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Schmonk
aber ich bin wohl ein wenig mit der Notation überfordert, was bedeutet dann diese Notation mit den eckigen Klammern? Ich kenne nur die mit den Urbildern.
Oben meintest du schon

$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j]=X_j^{-1}(B_j) \end{eqnarray*}$

Stimmt.

Ich bin auch kein Freund nicht erklärter Notationen. Deswegen hatte ich die Erklärung hier

stoch.Unabh. von Familie

geliefert.

Die hatte ich ja auch verstanden, aber eben daraus kann ich nicht die exakte Bedeutung von

$\begin{eqnarray*} [X_j\neq Y_j] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j] \end{eqnarray*}$

erschließen. traurig

traurig

EDIT:
Oh mann... LOL Hammer

LOL Hammer

Da starre ich stundenlang auf diese Aufgabe und erst mit einer Pizza im Magen und einen Bier auf dem Tisch fällt es mir wie Schuppen von den Augen. Nunja...wer braucht schon Schlaf. Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} [X_j\neq Y_j]\stackrel{?}{=}\{\omega\in\Omega|X_j(\omega)\neq Y_j(\omega)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [X_j\in B_j,X_j=Y_j]\stackrel{?}{=}\{\omega\in\Omega|X_j(\omega)\in B_j \text{ und }X_j(\omega)= Y_j(\omega)\} \end{eqnarray*}$

Danke!

(nun stimmt hoffentlich endlich alles)

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