Gerschgorin

18.01.2012, 15:59

AlexQR

Gerschgorin

Meine Frage:
Sei

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 20 & 10 & -29 \\ -9 & 1 & 9 \\ 10 & 10 & -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenden sie den satz von gerschgorin auf A an, um die eigenwerte zu schätzen.wie stark weichen die schätzungen von den tatsächlichen eigenwerten ab?

Meine Ideen:
es gilt für $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 20-\lambda \leq 19 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 20-\lambda \leq 39 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a_{22} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 1-\lambda \leq 20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 20-\lambda \leq 18 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} -19-\lambda \leq 20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 20-\lambda \leq 38 \end{eqnarray*}$

jetzt komme ich nicht weiter.kann mir jemand helfen?

19.01.2012, 18:58

speedyschmidt

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RE: Gerschgorin
Was auch immer genau Du hier gemacht hast:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |20-\lambda| \leq 19 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |20-\lambda| \leq 39 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a_{22} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |1-\lambda| \leq 20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |1-\lambda| \leq 18 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |-19-\lambda| \leq 20 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-19-\lambda| \leq 38 \end{eqnarray*}$

soll es sicher heißen. Von den 6 Aussagen sind 3 wertlos, wie Du schnell siehst.

"wie stark weichen die schätzungen von den tatsächlichen eigenwerten ab?" erklär mal, wie das gemeint sein soll. Bei der komischen Aufgabe würde ich die Eigenwerte berechnen und dann den Abstand zu den Diagonalelementen ausrechnen. was das genau mit den Gerschgorinkreisen zu tun haben soll,...?

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