Distributivgesetz folgt aus Kommutativität

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fliesenburner Auf diesen Beitrag antworten »
Distributivgesetz folgt aus Kommutativität
Meine Frage:
Hallöchen.

Ich habe eine Frage: Ich versuche gerade die Def. des Körpers komplett nachzuvollziehen. Also, die Definition des Buches, mit dem ich mich auf mein "Comeback" zu der Mathematik vorbereite, schreibt:

Körper

Ein Körper ist ein Kommutativer Ring (R,+,*) mit Einselement, für den zusätzlich gilt: Für jedes , , wobei 0 das neutrale Element der Addition in (K,+) ist, gibt es ein mit , wobei 1 das Einselement von K ist. Man sagt: Jedes Element außer der Null besitzt ein Inverses. Anders formuliert: Ein Körper ist ein Tripel (K,+,*), für das gilt:

(K1) (K,+) ist eine abelsche Gruppe.
(K2) Ist 0 das neutrale Element von (K,+), so bilder (K\{0},*)=:K* eine abelsche Gruppe
(K3) Es gilt das Distributivgesetz: Für alle gilt:
a*(b+c)=a*b+a*c

Anmerkung: Das andere Distributivgesetz (a+b)*c=a*c+b*c folgt sofort aus der Kommutativität.

So, was ich jetzt nicht verstehe, ist die Anmerkung. Wieso folgt denn bitte aus der Kommutativität das andere Distributivgesetz

Meine Ideen:
Ich hab leider keine eigene Ideen, da sich durch Verändern der Formel mit Hilfe der Kommutativität sich die Distributivgesetze auch nicht herleiten lassen. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Zündholz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz folgt aus Kommutativität
Hallo,
Aufgrund der Kommutativität (zwei mal angewendet) und des Distributivgesetzes gilt doch:
b*a + c*a = a*b + a*c = a*(b+c) = (b+c)*a

Schöne Grüße
fliesenburner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Distributivgesetz folgt aus Kommutativität
oja tatsächlich!
Upsi, manchmal hat man einfach ein Brett vor'm Kopf.

Vielen Dank!
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt, wenn ich diese Leiche aus dem Keller hole, aber stimmt es wirklich, dass das zweite Distributivgesetz für Körper aus der Kommutativität der Multiplikation folgt?

Die Kommutativität gilt doch nur für Elemente, die nicht 0 sind. Das zweite Distributivgesetz soll aber für alle Elemente gelten.
b*a + c*a = a*b + a*c = a*(b+c) = (b+c)*a
gilt also nur, wenn a,b und c nicht 0 sind.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die richtige Definition des multiplikativen Anteils ist meines Erachtens nach, dass (K,*) ein kommutatives Monoid ist, in dem jedes von 0 verschiedene Element invertierbar ist.

Das lässt sich schon auch so formulieren wie oben, wenn man beide Distributionssetze fordert und es kann auch sein, dass das geht, wenn man nur eines fordert, aber zumindest sehe ich gerade nicht auf die schnelle, wie das geht.

Es wäre zu zeigen, dass 0*a = 0 für alle a richtig ist. Will man dafür nicht das Distributivgesetz verwenden, das wir nicht haben, könnte man es aus a*0 = 0 für alle a folgern, was aus dem Distributivgesetz folgt, das wir haben. Dafür braucht man aber meines Erachtens nach das Assoziativgesetz (b*0)*c = b*(0*c), was wir bei der Formulierung oben ebenfalls nicht haben.
Es könnte also sein, dass du Recht hast.
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