Homomorphismus mit Normalteiler als Kern

19.01.2012, 11:15	Sinnlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismus mit Normalteiler als Kern Meine Frage: Hallo, ich sitz hier an einer Aufgabe beim lernen für ne Klausur und komm einfach nicht auf eine ordentliche Lösung. Ich glaube aber das schon ein kleiner Denkanstoß hilft Also: Sei $\begin{eqnarray} M:=Z_{19} \times Z_{19}, <br /> U=\left[(3,10)\right] \leq (M,+) \end{eqnarray}$ Ich hab bereits in einer Teilaufgabe gezeigt das die Untergruppe(soll das erzeugnis sein, hab aber die Klammer nicht gefunden) ein Normalteiler ist Die Aufgabe ist nun zu untersuchen ob es einen Homomorphismus gibt $\begin{eqnarray} \pi :M ->Z_{19} \end{eqnarray}$ mit U als Kern Meine Ideen: Also ich hab schon einige Vorarbeit geleistet: $\begin{eqnarray} \| M \| =19\cdot 19 , \| U \|=19\Rightarrow \| M/U \| =19 \end{eqnarray}$ Da U Normalteiler ist gibt es einen surjektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray} \alpha:M ->M/U, \alpha(a,b)->restklasse von(a,b) \end{eqnarray}$ mit Kern U Ich hab irgendwie an den 1.Homomorphiesatz gedacht aber weiß nicht wie ich den einsetzen soll
19.01.2012, 14:15	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismus mit Normalteiler als Kern Versuche doch, Dir eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha: \mathbb{Z}_{19}\times\mathbb{Z}_{19}\to \mathbb{Z}_{19} \end{eqnarray}$ zu konstruieren, die $\begin{eqnarray} (3,10) \end{eqnarray}$ auf die Null abbildet, aber nicht die Nullabbildung ist. Das ist dann ein solcher Homomorphismus. Du kannst auch Deine Menge M als zweidimensionalen Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{19} \end{eqnarray}$ (ein Körper!) interpretieren und eine lineare Abbildung mit Bild $\begin{eqnarray} \{(a,0)\|a\in\mathbb{Z}_{19}\} \end{eqnarray}$ und Kern $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ suchen. Gruß, Rubiksilat. PS: $\begin{eqnarray} \langle...\rangle \end{eqnarray}$ mit \langle...\rangle
19.01.2012, 15:34	Sinnlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie komm ich so nicht weiter wenn ich einen Homomorphismus konstruieren will komm ich nur auf die nullabbildung bzw. $\begin{eqnarray} (a,b) -> a^{19} \end{eqnarray}$ aber das ist ja auch nichts anderes als die Nullabbildung und dann ist jedoch der Kern nicht U sonder ganz M
19.01.2012, 15:59	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal ist die Multiplikative Schreibweise $\begin{eqnarray} a^{19} \end{eqnarray}$ irreführend, da $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{19} \end{eqnarray}$ nur bezüglich der Addition eine Gruppe bildet. Probiere doch mal einen Homomorphismus der Form $\begin{eqnarray} (a,b)\to x\cdot a+y\cdot b \end{eqnarray}$ aus.
19.01.2012, 16:09	Sinnlos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich suche aber doch einen homomorphismus von Gruppen, da kann ich doch nicht einfach addieren und multiplizieren? bzw. ist ein Ringhomomorphismus erst zwei aufgaben weiter unten gefragt
19.01.2012, 16:17	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ sind natürliche Zahlen, d.h. $\begin{eqnarray} 5x+4y \end{eqnarray}$ soll eigentlich $\begin{eqnarray} x+x+x+x+x+y+y+y+y \end{eqnarray}$ sein. Du kannst aber auch einfach mal nachrechnen, dass das ein Homomorphismus wird. Die Homomorphismen von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_{19},+) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_{19},+) \end{eqnarray}$ sind letztlich genau die Multiplikationen mit Elementen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{19} \end{eqnarray}$ - aber das nur am Rande.
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19.01.2012, 16:31	Sinnlos	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhh... klar war etwas verwirrt und mir war nicht mehr ganz ersichtlich was restklassen und zahlen waren. also könnte ein homomorphismus aussehen (a,b) -> 3a+1b (3,10) wird auf die 0 abgebildet und wie aus zauberhand glücklicherweise auch alle anderen elemente aus dem Erzeugnis, sodass der Kern U ist. und wenn ich nachrechne ist das auch ein homomorphismus. Ich hoff das hab ich so richtig umgesetzt? Danke für die Hilfe wobei ich das echt selber hätte wissen können
19.01.2012, 16:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt so.

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