Untervektorraum

19.01.2012, 15:50

Denise67

Untervektorraum

Meine Frage:
Sei R $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5[X] der R-Vektorraum der Polynome mit Grad $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5. Wir betrachten die
folgende Teilmenge von R $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5[X]:
H = {P(X) 2 R $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5[X]; P(1) = P(2) = P(3) = 0}.
Ist H ein Untervektorraum von R $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 5[X]? Falls ja, bestimmen Sie die Dimension
und eine Basis von H.

Meine Ideen:
Also ein Polynom 5.Grades sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} P(x)=a_{5}x^{5}+ a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+ a_{1}x+ a_{0} \end{eqnarray*}$

Ich weiß das für x=1,2,3 der y=0 ist.
eine Basis ist (1,X, $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{5} \end{eqnarray*}$ )
und die Dimension ist 6, aber wie zeige ich das, ehrlich gesagt habe ich Probleme mit Polynomen, da ich mir kein Bild davon machen kann, könnte jemand vielleicht mit die Polynome im Zusammenhang mit dieser Aufgabe beschreiben.
Habe wirklich im Internet nachgesucht, ihr könnt mir auch Seiten vorschlagen smile

Wäre echt dankbar Augenzwinkern

19.01.2012, 16:20

Mulder

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RE: Untervektorraum

Zitat:

Original von Denise67
Also ein Polynom 5.Grades sieht so aus:
$\begin{eqnarray*} P(x)=a_{5}x^{5}+ a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+ a_{1}x+ a_{0} \end{eqnarray*}$

Ich weiß das für x=1,2,3 der y=0 ist.
eine Basis ist (1,X, $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{4} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^{5} \end{eqnarray*}$ )

Ja gut, das ist eine Basis des gesamten $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 5}[X] \end{eqnarray*}$ . Wir suchen ja nun eine Basis von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .

Hast du schon nachgewiesen, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum ist? Dafür sind ja nur ganz stumpf die drei UVR-Kriterien durchzurechnen.

Zitat:

Original von Denise67
ehrlich gesagt habe ich Probleme mit Polynomen, da ich mir kein Bild davon machen kann

Sich "ein Bild zu machen" klappt selten bei Vektorräumen, bleib da ganz abstrakt, nimm diesen Vektorraum einfach als eine Menge von Polynomen hin, auf der dann die Addition und mit Multiplikation mit einem Skalar erklärt ist. Mehr ist das nicht und weitere Gedanken dazu bringen wenig.

Zu der Basis von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ : Mach dir erstmal Gedanken darüber, wie die Polynome aussehen müssen, damit sie in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ liegen. Drei Nullstellen sind gegeben, das sagt schon mal etwas über diese Polynome in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ aus. Wie müssen die aussehen?

19.01.2012, 17:28

Denise67

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$\begin{eqnarray*} P(x)=a_{5}x^{5}+ a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+ a_{1}x+ a_{0} \end{eqnarray*}$
da ich bei 1,2,3 eine Nullstelle habe folgt: z.B.
$\begin{eqnarray*} P(1)=a_{5}+ a_{4}+a_{3}+a_{2}+ a_{1}+ a_{0} \end{eqnarray*}$ =0

aber weiterkomme ich nichttttt......Brauche dringend Hilfe wie kann ich die Nulsstellen hier anwenden

19.01.2012, 17:35

Mulder

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Zitat:

Original von Denise67
$\begin{eqnarray*} P(1)=a_{5}+ a_{4}+a_{3}+a_{2}+ a_{1}+ a_{0} \end{eqnarray*}$ =0

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} a_0 = -(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) \end{eqnarray*}$ . Das könnte man ja in P(x) einsetzen und schon hat man das $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ beseitigt. Mit den anderen beiden Nullstellen kann man ähnlich verfahren und so noch zwei dieser Koeffizienten loswerden.

Allerdings wird es evtl. auch einfacher, wenn man sich überlegt, dass das Polynom, wenn es denn diese drei Nullstellen haben muss, auch jeweils aus den entsprechenden Linearfaktoren bestehen muss (ich nenne ein Polynom aus H nun mal h):

$\begin{eqnarray*} h(x) = (x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3) \cdot g(x) \end{eqnarray*}$

Wobei jetzt noch zu überlegen ist, wie $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ aussieht. So erspart man sich das etwas lästige Gleicungssystem, das mit der Methode oben entstehen würde.

19.01.2012, 17:45

Denise67

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oder muss ich jetzt dasselbe für x=2 und drei auch machen und dann eine Matrix aufstellen und so die Basis berechnen????

weil dann habe ich ja kern berechnet da schon die Matrix glaich null gesetzt wird oder???

auf andere Ideen komme ich nicht unglücklich

19.01.2012, 17:56

Denise67

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$\begin{eqnarray*} P(1)=a_{5}+ a_{4}+a_{3}+a_{2}+ a_{1}+ a_{0} \end{eqnarray*}$ =0

$\begin{eqnarray*} P(2)=32*a_{5}+16*a_{4}+8*a_{3}+4*a_{2}+ 2*a_{1}+ a_{0} \end{eqnarray*}$ =0

$\begin{eqnarray*} P(3)=243*a_{5}+81* a_{4}+27*a_{3}+9*a_{2}+3* a_{1}+ a_{0} \end{eqnarray*}$ =0

so die erste hast du nach a0 aufgelöst
soll ich jetzt jeweils in die zweite und dritte a0 auch einsetzten und diese z.B.die zweite nach a1 und die dritte nach a2 auflösen und so in die P(x ) einsetzen, denn so würde ich das verstehen smile

19.01.2012, 17:58

Mulder

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Im Prinzip kannst du so vorgehen, ja. Ist nur eine etwas lästige Rumrechnerei, das alles einzusetzen. Du siehst ja die ganzen (teils großen) Zahlen. Aber mach mal ruhig, wichtig ist es ja, dass man wenigstens einen Weg versteht und anwenden kann. Du kannst neben a0 jetzt noch zwei weitere "Buchstaben" eliminieren. Je nachdem, wonach du jetzt auflöst, das ist ja deine eigene Entscheidung.

Die Alternative, die ich dir vorgeschlagen habe, wäre in diesem Fall die schnellere Lösung, finde ich.

Aber das ist deine Sache, Hauptsache ist ja, du findest einen Weg zum Ziel.

19.01.2012, 18:07

Denise67

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danke hast mir wirklich sehr weitergeholfen, vorallem ich verstehe das jetzt smile

in deinem zweiten Vorschlag hast du geschrieben dass man nun g(x) ausrechnen muss, wie macht man denn das, also was ist hier ie Voraussetzung???

19.01.2012, 18:12

Mulder

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Zitat:

Original von Denise67
in deinem zweiten Vorschlag hast du geschrieben dass man nun g(x) ausrechnen muss, wie macht man denn das, also was ist hier ie Voraussetzung???

Ich meinte damit nur, dass man sich überlegen muss, welchen Grad dieses g haben kann. Der Grad von h darf maximal 5 sein (denn in dem Vektorraum sind wir ja), und die drei Linearfaktoren vorne liefern schon mal Grad 3. g hat also Grad 2. Ergo:

$\begin{eqnarray*} h(x) = (x-1)\cdot (x-2)\cdot (x-3) \cdot (ax^2+bx+c) \end{eqnarray*}$

Keine große Sache also. Jedes Polynom in H muss von dieser Form sein.

Jetzt könnte man ausmultiplizieren, umsortieren und dann leicht eine Basis angeben. Da kommt man ohne Gleichungssystem aus.

19.01.2012, 18:13

Denise67

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ohhhh dankeee ist viel einfacher und viel schneller Augenzwinkern

und leichter zu verstehen

19.01.2012, 18:23

Denise67

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habe jetzt aufglöst und komme auf sowas:
(.......)*a+(.......)*b+(......)*c
wie muss ich jetzt für die Basis weitermachen?????

19.01.2012, 18:25

Mulder

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Zitat:

Original von Denise67
habe jetzt aufglöst und komme auf sowas:
(.......)*a+(.......)*b+(......)*c
wie muss ich jetzt für die Basis weitermachen?????

Eine Basis bilden jetzt diese drei "(.......)".

Denn wie du leicht nachrechnen können wirst, sind die linear unabhängig und sicher auch ein Erzeugendensystem. Also eine Basis.

19.01.2012, 18:59

Denise67

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diese drei vektoren Augenzwinkern

19.01.2012, 19:04

Denise67

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ist die dimension damit 3, denn ich habe ja 3 linear unabhängige Vektoren?

19.01.2012, 19:08

Mulder

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Natürlich, die Dimension entspricht ja der Mächtigkeit der Basis (also der Anzahl der Basisvektoren), das ist die Definition.