Zugehörigen Funktionswert berechnen

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Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »
Zugehörigen Funktionswert berechnen
Hi,

ich habe ein Problem mit nachfolgender Tabelle:

x 0% 5% 10% 15%
y 1,621 1,346 1,19 1,079

ich möchte nun die zugehörigen Werte y für z.B. -0,70 % und -6% berechnen.
Nur leider komme ich da nicht weiter ! Ich weiß nicht, wie ich diese Werte ermitteln kann..
Kann mir jemand von euch helfen ?

Vielen Dank.

Gruss

Patricia
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zugehörigen Funktioswert berechen !? Aber wie ?
Wie immer bei der Prozentrechnung ist es wichtig zu wissen, was die 100% sind. Wenn du das erstmalweißt, sollte der Rest kein Problem mehr sein. Augenzwinkern
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke man kann 0% = 100% setzen.
Nur wie mach ich dann weiter ? Wie krieg ich den Wert zu z.B. -0,7 raus ?
Ich kome da nicht weiter...

hoffe du kannst du mir helfen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du uns mal die konkrete Aufgabe geben? Mitunter macht es wenig Sinn, dass 0% von irgendetwas einen Wert ungleich Null ergibt.

Den Ansatz 0%=100% versteh ich nun überhaupt nicht.
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe keine aufgabenstellung. Das oben sind Messwerte. Und ich möchte nun aus diesen Werten den zugehörigen Funktionswert u.a. zu 0,7% berechnen..
Divergenz Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

das hat also gar nichts mit Prozentrechnung zu tun, nur mit Funktionsbestimmung. Weißt du denn zu welcher Funktionsklasse deine Funktion gehören soll?
 
 
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

genau hat eig. nix mit Prozentrechnung zu tun. Ich habe meine Funktion mittels eines Polynom 6. Grades in excek erstellt. Das ist ein ausreichender Funktionsansatz.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patricia!

Warum kommst du auf ein Polynom 6. Grades? Gegeben sind doch nur 4 Punkte. Da kannst du höchstens ein Polynom 3. Grades durch die Punkte legen und danach extrapolieren. Oder liege ich damit falsch? Hast du schon eine Lösung mit dem Polynom 6. Grades?

Gruss yeti
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo yeti !

hier ist die ganze tabelle:

0% 5% 10% 15% 20% 25%
1,621 1,346 1,19 1,079 1,025 1

mittels dieser werte habe ich in exxcel ein diagramm gezeichnet. Anschließend eine trendlinie durchgelegt und da hat sich eine funktion 6.grades am beste angenähert.
Anhand der obigen Werte, möchte ich auf den funkionswert zu z.B. -0,7% gelangen. Nur wie mache ich das ?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patricia!

Bist du sicher, dass du ein Polynom 6. Grades benutzt hast? In deinem Post sehe ich nur 6 Punkte. Damit könntest du ein Interpolationspolynom 5. Grades bestimmen und danach für die gewünschten x-Werte extrapolieren.

Ich habe das probehalber mal für die 4 Punkte, die du in deinem ersten Post angegeben hast gemacht und es ergibt sich eine hübsche monoton fallende Kurve.

Sind dir die Begriffe Interpolation und Extrapolation bekannt?

Gruss yeti
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also dann doch eine funtkion 5. Grades. Ich ahbe bei excel mittels trendlinie eine funktion 6. grades gewählt, da dann das bestimmtheitsmaß R fast =1 ist. aber gut gehen wir von einer Funktion 5. Grades aus..wie mache ich es dann..
Mit Interolieren kenne ich mich aus. Ich denke der richitge weg ist extrapolieren..Nur leider weiß ich nicht so recht wie das mit dem extrapolieren funktioniert. Könntest du mir das evtl. beispielhaft erklären ?
Wäre super. Du würdest mir damit sehr weiterhelfen.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst einen Ansatz mit einem Polynom 5. Grades, so: . Jetzt hast du 6 -Werte und 6 zugehörige -Werte , die du wie folgt verwendest: .
Das ergibt ein lineares Gleichungssystem für die 6 unbekannten Koeffizienten des Polynoms, das du auflösen kannst. Wenn du mit der VANDERMONDE-Matrix vertraut bist, kannst du diese direkt anschreiben (etwas kürzer).

Nach Berechnung der Polynomkoeffizienten hast du dein Polynom 5. Grades, das auf ganz definiert ist. Du kannst jetzt einen gewünschten -Wert, zB. -0.7, in das Polynom einsetzen. Wenn der Wert zwischen dem kleinsten und dem grössten -Wert liegt, interpolierst du, wenn er ausserhalb dieses Intervalls liegt, extrapolierst du. Zu beachten ist natürlich, dass die Extrapolation nur in einer gewissen Umgebung des gegebenen Intervalls vernünftige Werte liefert.
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. ok. also der ansatz wäre somit eine funktion 5. grades des typs
f(x) = a^*x^5+b*x^4+c*x^3+d*x^2+e*x+f ausfzustellen.
Wenn ich diese funktion habe, muss ich dann den wert -0,7 einsetzen um auf meinen gewünschten funktionswert zu -0,7% zu gelangen.

Ich könnte die Funktion doch eig. auch dann mit excel bzw. von excel berechnen lassen,oder ? Dann bräauchte man die Funktion für das Polynom 5.Grades nciht zu fuss auszurechnen..

oder leige ich total falsch mit dem was hier geschrieben habe ?
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz für das Polynom 5. Grades ist richtig. Damit du dieses benützen kannst, musst du aber die Werte der Koeffizienten a,b,...f kennen bzw. berechnen. Leider bin ich eine totale Nuss in EXCEL unglücklich . Ich kann dir also nicht sagen, ob EXCEL das vorliegende Interpolationsproblem lösen kann.

Ich werde in der Zwischenzeit die Aufgabe auf meine Art lösen und dir dann die resultierende Fuktion zeigen, damit du einen Anhaltspunkt hast.

Gruss yeti
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe.

Ich kriege folgendes Polynom raus:

y = -3E-07x5 + 2E-05x4 - 0,0006x3 + 0,0075x2 - 0,0812x + 1,621

(Lösung mit excel erstellt)
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Du liegst richtig, aber die Werte sind etwas ungenau, was wohl auf die Rechengenauigkeit von EXCEL zurückzuführen ist. Die Kondition des zu lösenden LGS ist nämlich ziemlich schlecht (Konditionszahl ca. 0.347*10^8). Daher kann man wohl von EXCEL nicht mehr erwarten. Hier zum Vergleich meine Werte:



Den Funktionsgraphen des Polynoms 5. Grades habe ich angehängt.

Gruss yeti

Edit: Für die gesuchten Werte erhalte ich dann:
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit wechem Programm hast du denn das Polynom gelöst ?
Ich möchte schon versuchen ein einigermaßen genaues ergebnis berechnen. Muss nämlcih noch mehrere Polynome dieser art bestimmen.

noch eine Frage:
Man könnte doch aber auch mittels der Punkte z.B. nur ein Ploynom 4.Grades wählen,wenn einem das genau genug wäre, oder ?
Man also nicht unbedingt ein Polynom 5.grades aufstellen.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

*verschoben*
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Patricia!

Das LGS für das Interpolationspolynom 5. Grades habe ich von Hand aufgestellt und dann mit dem CAS der Firma gelöst. Da das LGS sehr schlecht konditioniert ist, sollte man eine grosse Dezimalstellenzahl zum Rechnen verwenden. Vielleicht kannst du mal nachschauen, mit wieviel Dezimalen EXCEL rechnet und ob man diese Stellenzahl nach oben schrauben kann.

Zu deiner zweiten Frage: Vorgegeben sind 6 bekannte Punkte. Wenn man eine Kurve will, die diese 6 Punkte exakt verbindet, so führt das auf ein Polynom 5. Grades mit dem bekannten Nachteil der schlechten Kondition. Jetzt kann man die Aufgabe auch anders angehen. Falls die y-Werte Messwerte darstellen, kann man davon ausgehen, dass sie mit Fehlern behaftet sind. In diesem Fall muss die Kurve ja nicht exakt durch die Punkte gehen, sondern "möglichst nahe" daran vorbei, nach einem noch zu definierenden Kriterium. Das führt dann auf die Ausgleichsrechnung. Ich weiss allerdings nicht, ob dir diese schon bekannt ist. Als Beispiel habe ich mal ein Polynom 3. Grades genommen und dann dessen Koeffizienten nach dem Verfahren der kleinsten Quadrate (Least Squares) berechnet. Das Ergebnis siehst du auf dem Anhang. Man erkennt, dass die Approximation mit dem Polynom 3. Grades (blau) "gutmütiger" ist, als die Interpolation mit dem Polynom 5. Grades, welches zwar die vorgegebenen Punkte interpoliert, aber dann ziemlich rasch nach unten und nach oben abhaut.

Gruss yeti
Patricia10 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir für diese Erklärung. Die Thematik mit der Berechnung der zurgehörigen Funktionswerte ist mir damit klar !
Danke schon einmal für diese Hilfe !

Gruss
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