Wie ziehe ich die komplexe Wurzel aus einer komplexen Zahl?

22.01.2012, 13:17

Spektrum

Wie ziehe ich die komplexe Wurzel aus einer komplexen Zahl?

Meine Frage:
Ich muss folgendes Beispiel lösen: $\begin{eqnarray*} \sqrt[i]{-i} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[i]{-i}=-i^{\frac{1}{i} } \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt den logarithmus bilde: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i}*ln(-i) \end{eqnarray*}$

Der Logarithmus von -i ist: $\begin{eqnarray*} ln(-i)=ln(1*e^{i*0} =1 \end{eqnarray*}$ da ja r=1 und der Winkel=0 ist.

Stimmt das soweit überhaupt? Wie mache ich dann weiter, was mache ich mit
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ ?

Könnte mir vielleicht jemand dieses Beispiel Schritt für Schritt vorrechnen bzw. erklären?

Vielen Dank schon mal für eure Hilfe!! Spektrum

22.01.2012, 14:39

Hoodaly

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RE: Wie ziehe ich die komplexe Wurzel aus einer komplexen Zahl?
Hallo,

schreib -i als Polarform und zieh dann die Wurzel.

LG Hoodaly

Ps.: Sorry, das war eben schon zu viel verraten. Es ist ungewohnt, sich zu bremsen...

22.01.2012, 14:40

Gast11022013

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RE: Wie ziehe ich die komplexe Wurzel aus einer komplexen Zahl?
Wieso verrätst Du denn die Lösung? Das widerspricht dem Boardprinzip! unglücklich

22.01.2012, 14:54

Dopap

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RE: Wie ziehe ich die komplexe Wurzel aus einer komplexen Zahl?
wenn schon Lösung da, dann nochmals mitsamt dem ln :

Zitat:

Original von Spektrum

Der Logarithmus von -i ist: $\begin{eqnarray*} ln(-i)=ln(1*e^{i*0} =1 \end{eqnarray*}$ da ja r=1 und der Winkel=0 ist.
Stimmt das soweit überhaupt? Wie mache ich dann weiter, was mache ich mit

nein. $\begin{eqnarray*} -i=e^{-i\frac \pi 2} \Rightarrow \ln(-i)=-i\frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt [i]{-i}=(-i)^{\frac 1 i}\Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln z =\frac 1 i \ln(-i)=\frac 1 i (-i\frac \pi 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln z =-\frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=e^{-\frac \pi 2} \end{eqnarray*}$

22.01.2012, 15:21

Spektrum

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Danke für die Hilfe Freude

! Doch ich habe eine Frage: Warum ist die Exponentialform von -i $\begin{eqnarray*} e^{-i*\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich das mal Schritt für Schritt mache:

z= -i --> $\begin{eqnarray*} \alpha =arctan(\frac{y}{x} )= arctan(\frac{-1}{0} )=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=r*e^{i*\alpha } = r*e^{i*(\frac{\alpha }{n}+\frac{2*pi*k}{n} )}=1*e^{i*(0-\frac{2*pi*1}{2} } =1*e^{-i*\pi } \end{eqnarray*}$

Ich weiß dass $\begin{eqnarray*} e^{-i*\frac{\pi }{2} } \end{eqnarray*}$ =-i eine sehr berühmte Formel ist, aber ich kann sie nicht ganz nachvollziehen unglücklich

Habt ihr einen Tipp für mich? Lg Spektrum

22.01.2012, 15:39

Dopap

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man soll Einfaches einfach rechnen und nicht arctan(-oo} verwenden.
Zeichne mal -i ins Koordinatensystem. Welcher Winkel?

22.01.2012, 16:21

Spektrum

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wenn ich -i zeichne, dann ist x=0 und y=-1, damit bin ich auf der negativen y-Achse, also bei 180°, also pi/2.

Gut, so könnte man ja jeden Winkel einfach einsetzen, aber laut der Formel kommt ja was ganz andres raus! Warum?

Und ich habe gelesen dass man - sofern man nicht im ersten Quadranten liegt, gegen den Uhrzeigersinn den entsprechenden Winkel dazuzählen oder abziehen muss.

Ich steh grad auf der Leitung verwirrt

22.01.2012, 16:44

Dopap

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Zitat:

Original von Spektrum
wenn ich -i zeichne, dann ist x=0 und y=-1, damit bin ich auf der negativen y-Achse, also bei 180°, also pi/2.

180° ist genauso falsch wie pi/2

Winkel werden gegenüber der positiven x-Achse gemessen. Also $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 \pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\frac {\pi} {2} \end{eqnarray*}$

22.01.2012, 17:18

Brisingr

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Warum ist y=-1 gegenüber der positiven x_Achse -pi/2 und nicht -pi/4? oder in die andere Richtung gerechnet 3pi/2 und nicht 3pi/4?

22.01.2012, 17:25

Spektrum

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Ehrlich gesagt hab ich das auch nicht verstanden. Was heißt "gegenüber der positiven x-Achse"? Kannst du das vielleicht mit einem anderen Beispiel erklären?

22.01.2012, 18:05

mYthos

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@Spectrum

Du hast bereits unter einem anderen Namen (Noxxus) eine diesbezügliche Frage gestellt. Ich mache dich darauf aufmerksam, dass das Posten seitens ein und derselben Person unter verschiedenen Namen nicht erlaubt ist und dies auch als grobe Unhöflichkeit gewertet wird. Bleibe lieber bei deinem bereits registrierten Namen, anstatt hier weitere Fragen unregistriert zu veröffentlich. Was soll dies für einen Sinn haben? Übrigens, der Brisingr bist ebenfalls du, also höre bitte sofort mit diesem Unsinn auf!

--> Logarithmus einer komplexen Zahl berechnen

Dort wurde dir auch mitgeteilt, wii diese komplexe Potenz zu behandeln ist.

mY+

22.01.2012, 18:31

Spektrum

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mYthos, tut mir leid wenn du jetzt denkst ich würde mir hier einen Scherz erlauben - ich habe mich nicht absichtlich als Noxxus registriert, und konnte daher diesen Namen nicht mehr benutzen da er ja schon vergeben war, also musste ich mich als Spektrum einloggen. Kannst du meinen Account wenn so was denn für Noxxus existiert bitte löschen? Ich weiß noch nicht mal das Passwort, keine Ahnung wie das ging!!

Ich habe mir den Wikipedia artikel auch angesehen, aber der hilft mir auch nicht um dieses Beispiel zu verstehen! Ich wollte hier niemanden hinters Licht führen, sondern einfach nur dieses Beispiel knacken und das Thema etwas besser verstehen! Und leider kommen oft etwas herablassende oder gemeine Antworten wenn man etwas fragt hier, deshalb war es mir unangenehm so oft wegen dem Winkel nachhaken zu müssen.

Ich bin noch immer sehr an der Antwort interessiert, und vielleicht auch andere die dieses Thema aufgerufen haben! Über eine leicht verständliche Antwort würde ich mich sehr freuen!

22.01.2012, 18:59

Dopap

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der Vollkreis hat 360° oder $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$

Demnach ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ Kreis 90° oder $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

Und bitte jetzt nicht nachfragen warum der Vollkreis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist.
(Forum ist: Hochschule Algebra)

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