noetherscher Ring, Radikal, Ideal ---> Beweis

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23.01.2012, 07:31	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
noetherscher Ring, Radikal, Ideal ---> Beweis Hi alle zusammen, erstmal sorry für den schlechten Titel, aber mir ist nix besseres eingefallen ^^ Also hier die Aufgabenstellung: Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein noetherscher Ring und $\begin{eqnarray} I\subset R \end{eqnarray}$ ein Ideal in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Zz: $\begin{eqnarray} \exists n\in\mathbb N: (\sqrt I)^n\subset I \end{eqnarray}$ . Ich konnte mir noch nicht wirklich Gedanken drüber machen, weil mir nicht ganz klar ist, was $\begin{eqnarray} (\sqrt I)^n \end{eqnarray}$ bedeuten soll. $\begin{eqnarray} \sqrt I \end{eqnarray}$ ist ja definiert als die Menge aller $\begin{eqnarray} r\in R \end{eqnarray}$ wo es ein $\begin{eqnarray} k\in\mathbb N \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} r^k\in I \end{eqnarray}$ ist. Bezieht sich das "hoch n" dann auf das $\begin{eqnarray} r^k \end{eqnarray}$ oder wie ist das gemeint? Bin also für Aufklärung dankbar ^^ LG Hamsterchen
23.01.2012, 08:12	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: noetherscher Ring, Radikal, Ideal ---> Beweis hallo hamsterchen, erstmal gutes neues jahr (kenne dich glaube ich noch vom letzten jahr). Also, mit $\begin{eqnarray} (\sqrt I)^n \subset I \end{eqnarray}$ ist gemeint, das es ein n gibt, mit dem jedes element aus $\begin{eqnarray} \sqrt I \end{eqnarray}$ potenziert mit n in dem Ideal liegt, und das ist ja nicht selbst- verständlich, denn in $\begin{eqnarray} \sqrt I \end{eqnarray}$ liegen ja viele elemente. Man wird in dem beweis noch ausnutzen müssen, dass der ring noethersch ist, und ich könnte mir vorstellen, das man das n so wählt, dass es das kleinste gemeinsame vielfache aller möglcihen k ist. Hoffe ich konnte dir helfen. gruss ollie3
23.01.2012, 08:24	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke dir auch ein frohes neues Jahr ^^ Kann gut sein, dass wir uns kennen, habe hier schon viele Beiträge verfasst =) Also du hast mir auf jeden Fall schonmal geholfen ^^ Also zu zeigen ist ja, dass es ein k gibt, sodass jedes $\begin{eqnarray} r\in\sqrt I \end{eqnarray}$ mit k potenziert in $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ liegt, ja? Das mit dem kgV klingt sehr einleuchtend, denn für jedes $\begin{eqnarray} r\in\sqrt I \end{eqnarray}$ gibt es ja ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r^n\in I \end{eqnarray}$ . Wenn ich dann $\begin{eqnarray} (r^n)^m \end{eqnarray}$ nehme, wo $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ dann das kgV aller n's ist, dann potenziere ich ja im Prinzip nur ein Element des Ideals, was dann natürlich wieder im Ideal drin ist. Und das kann ich für jedes Element aus $\begin{eqnarray} \sqrt I \end{eqnarray}$ sagen. Aber irgendwo muss ein Haken sein, denn bisher sehe ich noch nicht, wieso der Ring noethersch sein muss... Hmmm kannst du mir auf die Sprünge helfen?
23.01.2012, 08:36	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo hamsterchen, danke für deine nachfrage. Das mit dem noethersch war doch glaube ich, das eine" verfeinerung" nach unten irgendwann stationär wird, und das ist deswegen wichtig, weil es sonst theoretisch unendlich viele k´s mit der gewünschten eigenschaft geben könnte, und dann könnte man ja kein kgV mehr bilden. Juchu, ich glaube die aufgabe ist jetzt schon vollständig gelöst. gruss ollie3
23.01.2012, 08:43	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die Definition, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist. Aber das dürfte aufs Gleiche hinauslaufen, oder?
23.01.2012, 09:21	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo hamsterchen, ob die eigenschaften noethersch und endlich erzeugt übereinstimmen, weiss ich nicht genau, aber das mit dem noethersch ist jedenfalls wichtig, weil der beweis sonst nicht funktioniert. gruss ollie3
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23.01.2012, 15:02	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, also unsere def. ist wie gesagt, dass jedes ideal in einem noetherschen ring endlich erzeugt ist. diese aussagen sind auf jeden fall äquivalent. naja und ich hab mir nochmal gedanken gemacht, aber irgendwie komme ich nicht drauf, wieso aus "I ist endlich erzeugt" folgt, dass es nur endlich viele dieser "n" mit $\begin{eqnarray} r^n\in I \end{eqnarray}$ gibt. Könntest du vielleicht noch ein paar erklärende worte hinzufügen? ^^
23.01.2012, 15:28	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo hamsterchen, also wie gesagt, ich kann mir das am besten mit der eigenschaft noethersch erklären, denn das bedeutet ja, das jede "verfeinerung", das heisst wenn man immer neue unterringe bildet, irgendwann stationär wird, das heisst man kann das nicht unendlich weiter treiben, denn sonst könnte ja in der menge $\begin{eqnarray} \sqrt I \end{eqnarray}$ zum beispiel ein element r und dann noch die 2. wurzel, 4. wurzel, 8.wurzel, 16. wurzel u.s.w. aus r liegen, und wenn das unendlich so weiter geht, es also unendlich viele k´s mit r^k element aus I gäbe, könnte man ja kein n mehr wählen, dass dann das kgV von allen k´s ist. Na, jetzt alles verstanden? gruss ollie3
23.01.2012, 15:31	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
auf der einen seite verstehe ich ja schon, was du meinst, aber irgendwie fehlt mir da der formale beweis. das bekomm ich aber nicht hin ^^ aber du hast mir auf jeden fall viel geholfen, vielen dank =) lg hamsterchen
23.01.2012, 16:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier liegt doch einiges im Argen: 1. Zu $\begin{eqnarray} (\sqrt{I})^n \end{eqnarray}$ : Es ist $\begin{eqnarray} (\sqrt{I})^n := \langle \prod_{i=1}^n a_i \| a_i \in \sqrt{I} \rangle \end{eqnarray}$ . Wenn wir also $\begin{eqnarray} (\sqrt{I})^n \subset I \end{eqnarray}$ zeigen wollen, so reicht es zu zeigen, dass die Erzeuger von $\begin{eqnarray} (\sqrt{I})^n \end{eqnarray}$ in I liegen, d.h. wir müssen zeigen, dass das Produkt von n Elementen (nicht zwingend die n-te Potenz eines Elements) aus $\begin{eqnarray} \sqrt{I} \end{eqnarray}$ stets in I liegt. Dann zu noethersch: Ich gehe einfach mal davon aus, dass R kommutativ sein soll. Dann bedeutet noethersch in der Tat, dass alle Ideale endlich erzeugt sind. Das ist u.a. gleichbedeutend damit, dass jede aufsteigende Kette von Idealen stationär wird. (Evtl. meintest du das mit "Verfeinerung nach unten") Wir konzentrieren uns hier mal auf die Formulierung, dass jedes Ideal endlich erzeugt ist. Sei also $\begin{eqnarray} \sqrt{I} = \langle f_1, \dotsc, f_m \rangle \end{eqnarray}$ Nun können wir zu jedem $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ wählen mit $\begin{eqnarray} f_i^{k_i} \in I \end{eqnarray}$ . Und da es nur endlich viele sind, können wir deren Maximum k bilden und erhalten $\begin{eqnarray} f_i^k \in I \end{eqnarray}$ für alle i. Versuche jetzt mal $\begin{eqnarray} (\sqrt{I})^{mk} \subset I \end{eqnarray}$ zu zeigen, d.h. zeige: $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^{mk} \left(\sum_{j=1}^{m} r_{ij} f_j \right) \in I \end{eqnarray}$ (Mache dir zunächst klar, dass der Term auf der linken Seite wirklich jeden Erzeuger von $\begin{eqnarray} (\sqrt{I})^{mk} \end{eqnarray}$ beschreibt.) PS: Man kann das bestimmt auch irgendwie elleganter mit einer geeigneten aufsteigenden Kette zeigen, aber mir fällt leider spontan nichts derartiges ein.
23.01.2012, 17:48	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank für deine Antwort. Wieso ist denn $\begin{eqnarray} (\sqrt I)^n \end{eqnarray}$ so definiert? Also woher soll ich das denn wissen? ^^ Naja ich kann alles nachvollziehen was du geschrieben hast und ich weiß auch, wieso der Term auf der linken Seite alle Erzeuger von $\begin{eqnarray} (\sqrt I)^{mk} \end{eqnarray}$ darstellt, denn die Summe ist gerade das Erzeugnis von $\begin{eqnarray} \sqrt I \end{eqnarray}$ und das Produkt davor stellt die (mk)-te Potenz dar, wie du es definiert hast. Leider verzweifle ich daran zu zeigen, dass das ganze in I liegt. Ich habe versucht, das ganze umzuschreiben und irgendwie geschickt auszuklammern, aber habe nur: $\begin{eqnarray} \ldots = f_1^{mk}\prod\limits_{i=1}^{mk}r_{i1}+\ldots+f_m^{mk}\prod\limits_{i=1}^{mk}r_{im} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} +f_2r_{12}f_1^{mk-1}r_{21}\ldots r_{(mk)1}+f_2r_{22}f_1^{mk-1}r_{11}r_{31}\ldots r_{(mk)1}+\ldots+f_2r_{(mk)2}f_1^{mk-1}r_{11}\ldots r_{(mk-1)1} \end{eqnarray}$ man könnte in der zweiten Zeile wieder f_2 ausklammern und hätte das (mk)mal und dann in der 3. Zeile könnte man f_3 ausklammern, aber somit habe ich noch nicht alle Kombinationen. Und ich kann ja nicht sagen, dass $\begin{eqnarray} f_i^{mk-1}\in I \end{eqnarray}$ ist oder hoch mk-2 oder was weiß ich. also... komme nicht weiter^^
23.01.2012, 18:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze wirklich auszumultiplizieren ist natürlich tödlich. Viel mehr sollte man mal überlegen, was da passiert. Wir haben mk Klammern und jede Klammer besteht aus m Summanden der Form $\begin{eqnarray} r_{ij} f_j \end{eqnarray}$ . Insgesamt erhalten wir also $\begin{eqnarray} m^2k \end{eqnarray}$ Summanden, die jeweils aus mk Faktoren der Form $\begin{eqnarray} r_{ij} f_j \end{eqnarray}$ bestehen. Nun (Stichwort: Schubfachprinzip) überlegt man sich, dass in jedem solchen Summand also mind. ein $\begin{eqnarray} f_j \end{eqnarray}$ mind k mal vorkommt. Dann liegt aber jeder solche Summand schon in I, wegen $\begin{eqnarray} f_j^k \in I \end{eqnarray}$ Zu der Definition: Du weißt doch bestimmt, wie $\begin{eqnarray} IJ \end{eqnarray}$ für Ideale I,J definiert ist. Und wenn man das weiß, weiß man automatisch auch, wie $\begin{eqnarray} I^n \end{eqnarray}$ für irgendein Ideal I definiert ist.
23.01.2012, 18:41	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok ich schau nochmal drüber und melde mich wieder mit den faktoren und summanden hatte ich mir das auch schon überlegt, aber bin net weiter gekommen also bis gleich =)
23.01.2012, 18:58	Hamsterchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok man muss bissl nachdenken aber ich habs jetzt mit einem kleinen beispiel verstanden ^^ und das mit der definition ist jetzt auch klar, hatte gar nicht mehr an die def. vom produkt von idealen gedacht -.- vielen vielen dank!!!!! lg und schonmal gn8 hamsterchen

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