duale basis

15.01.2007, 16:40	pompasier	Auf diesen Beitrag antworten »
duale basis Hallo Zusammen! Ich hoffe jem kann mir bei der folgenden Aufgabe ein bisschen auf die Sprünge helfen. Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht so richtig, vor allem nicht, was der fett geschriebene Teil bedeutet. Hab versucht, mir erstmal nochmal klarzumachen, was der Dualraum ist, um die Aufg zu verstehen, aber ist mir alles ein wenig schleierhaft. Auf $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ sei ei die Standardbasis (i = 1, . . . , n), also e $\begin{eqnarray} {i} \end{eqnarray}$ = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) mit 1 an der i-ten Stelle. Auf dem Dualraum $\begin{eqnarray} \mathbb (R ^n)^ \end{eqnarray}$ bezeichne b $\begin{eqnarray} {i} \end{eqnarray}$ (i = 1, . . . , n) die duale Basis, also b $\begin{eqnarray} {i} \end{eqnarray}$ (x $\begin{eqnarray} {1} \end{eqnarray}$ , . . . , x $\begin{eqnarray} {n} \end{eqnarray}$ ) = x $\begin{eqnarray} {i} \end{eqnarray}$ für (x $\begin{eqnarray} {1} \end{eqnarray}$ , . . . , x $\begin{eqnarray} {n} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ Geben Sie für folgende Basen von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ (ausgedrückt in den e $\begin{eqnarray} {i} \end{eqnarray}$ ) die zugehörigen dualen Basen an, indem Sie die Elemente als Linearkombinationen der b $\begin{eqnarray} {i} \end{eqnarray}$ schreiben: (a) v $\begin{eqnarray} {k} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^k~e{i} \end{eqnarray}$ für k = 1,...,n; (b) v $\begin{eqnarray} {1} \end{eqnarray}$ = e $\begin{eqnarray} {1} \end{eqnarray}$ , v $\begin{eqnarray} {k} \end{eqnarray}$ = e $\begin{eqnarray} {k} \end{eqnarray}$ - e $\begin{eqnarray} {k-1} \end{eqnarray*}$ für 2 <= k < =n. Gruß
15.01.2007, 17:47	Xvl	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi mal eine Verständnisfrage dazu: Es gilt Abbildungen aus dem Dualraum zu finden, die alle Basisvektoren bis auf einen ganz bestimmten auf 0 abbilden. Dieser eine Vektor wird dann auf die 1 abgebildet. Zu jedem Basisvektor muss ein solche Abbildung gefunden werden. Die Menge dieser Abbildungen bildet dann eine Basis im Dualraum. Ist das soweit von der Vorgehensweise richtig, oder totaler Stuss? mfg dit Xvl

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