austauschlemma

23.01.2012, 19:51

martinio

austauschlemma

Sali,

habe eine Frage zum Austauschlemma, formal habe ich verstanden wie es funktioniert und was es bedeutet, aber bei einer stelle im beweis komme ich nicht weiter...

Sei B die Basis von V mit B = {v1,v2,....,vn)
Tausche nun den Vektor v1 mit Vekotr w Element aus dem Vektorraum aus, welcher sich als Lk aus den Vektoren der Basis darstellen lässt.
zz: B = (w, v2,....,vn) ist Basis von V.

Nun gut hier die Stelle , die ich nicht verstehe.

OE. sei lambda1 ungleich 0 , somit ist v1 Element <B> und damit V = <v1,...,vn> Teilmenge <B>. B ist also ein Erzeugendensystem.

Kann mir bitte jmd. das mal erklären, was soll lambda1 ungleich 0 ?

Hier noch mal zum reinschauen, ein screenshot der betreffenden stelle.
[URL=http://www.myimg.de/?img=Bildschirmfoto20120123uecf2f.png[/URL]

23.01.2012, 21:56

Math1986

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RE: austauschlemma
Der Fall $\begin{eqnarray*} \lambda^1=0 \end{eqnarray*}$ ist ja trivial, in der Summendarstellung stünde dann ja $\begin{eqnarray*} w=\lambda^1\cdot v_1+\ldots \end{eqnarray*}$
Dann kannst du den zugehörigen Vektor $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ ja beliebig vertauschen.

23.01.2012, 22:38

martinio

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RE: austauschlemma
aber dort steht doch lambda 1 ist ungleich null?
kannst du mir das noch ein wenig näher erläutern?

23.01.2012, 22:44

Math1986

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RE: austauschlemma

Zitat:

Original von martinio
aber dort steht doch lambda 1 ist ungleich null?
kannst du mir das noch ein wenig näher erläutern?

Den Fall $\begin{eqnarray*} \lambda^1=0 \end{eqnarray*}$ hielt der Autor wohl für so trivial, dass er ihn nicht weiter begründet hat, und stattdessen nur den Fall $\begin{eqnarray*} \lambda^1\neq 0 \end{eqnarray*}$ betrachtet hat.
Er macht quasi eine Fallunterscheidung: $\begin{eqnarray*} \lambda^1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda^1\neq 0 \end{eqnarray*}$

Den Fall $\begin{eqnarray*} \lambda^1=0 \end{eqnarray*}$ habe ich oben bereits erläutert, was ist dir daran unklar?

23.01.2012, 23:01

martinio

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RE: austauschlemma
habs verstanden

23.01.2012, 23:02

martinio

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RE: austauschlemma
ich werd aber noch eine erklärung geben, dann kannst du nochmal drüber schaun ob alles richtig ist!

23.01.2012, 23:58

martinio

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Sei K ein Körper, V ein K-Vekotrraum und B eine Basis von V mit B = {v1,v2,.....,vn}.

Somit lassen sich alle Vekotren aus V als Lk von den Vekotren der Basis B schreiben, nehme mir nun einen beliebigen Vektor w und schreibe ihn als LK:

$\begin{eqnarray*} w = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{n} v_{n} \end{eqnarray*}$

w soll nun an einer beliebigen stelle in der Basis v durch ein vn ausgetauscht werden, dafür muss folgende Bedingung gelten, für den auszutauschenden Vektor vn muss der Koeffizient $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Sonst:

Sei $\begin{eqnarray*} B = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Sei w =
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch die LK
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1} \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{3} \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 0 , \lambda_{2} = \lambda_{3} = 1 \end{eqnarray*}$ darstellen lässt.

Würde ich nun v1 durch w = $\begin{eqnarray*} w = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Basis tauschen, ergibt sich als vermeindlich richtige Basis :

$\begin{eqnarray*} B' = \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
Wie oben schon angedeuted ist dies keine Basis, da die Menge der Vektoren nicht linear unabhängig und auch kein Erezeugendensystem von V ist.

Daraus lässt sich erkennen, dass ein belieber Vektor w des K-Vekotrraums nur dann durch einen Vektor vn in der Baiss getauscht werden darf, wenn an der gewünschten Stelle $\begin{eqnarray*} \lambda_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Nehme mir nun obiges Beispiel und wechsel den Vekotr an der Stelle $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$ aus, ergbit also:

$\begin{eqnarray*} B'' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Dies Vektormenge ist eine Basis, da sie a) linear unabhängig und b) ein Erezeugendensystem des K-Vektorraums ist. Diese beiden Beispiele haben obiges Problem erläutert.

Weiter im Beweis gilt: (w,v2,...,vn) ist eine Basis. w wurde an der Stelle v1 getauscht, daher galt dort Lambda1 ist ungleich 0. Die neue Basis muss nun linear unabhängig sein, das sie immer noch ein EZS ist wurde durch obiges Beispiel gezeigt. Dafür stellen wir folgende Gleichung auf:

$\begin{eqnarray*} 0 = \mu w + \sum\limits_{k=2}^n \mu_{n}v_{n} = \mu \cdot( \sum\limits_{k=1}^n \lambda_{n}v_{n} ) + \sum\limits_{k=2}^n \mu_{n}v_{n}=\mu\lambda_{1} + \sum\limits_{k=2}^n (\mu\lambda_{n} + \mu_{n})v_{n} \end{eqnarray*}$

Hier darf also die Darstellung des Nullvektors nur die triviale sein. wir wissen, dass lamdba1 ungleich 0 ist, zudem dass v2,....,vn schon linear unabhängig ist. daraus folgt, dass mu2,...,mun = 0 ist. Zu gut erletzt muss sich daher ergeben, da lambda1 ungelich 0 muss mu als "ausgleich" = 0 sein.

24.01.2012, 16:51

Math1986

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Da das stimmt soweit alles Freude

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