Gleichungssystem lösen

25.01.2012, 08:00

minuu

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Gleichungssystem lösen

Hallo ihr lieben smile

smile

Ich versuch mich gerade daran den Schnittwinkel zweier Kurven zu berechnen. Dazu setze ich gerade meine x2-Werte gleich. lange rede kurzer sinn, ich bekomm die gleichung nicht gelöst:

$\begin{eqnarray*} - \frac{23}{9} +2*t + \frac{\sqrt{9*t} }{2} =0<br /> <=> -\frac{23}{9} +2*t +\frac{3}{2}*\sqrt{t}=0 \end{eqnarray*}$

ich hab keine ahnung wie ich jetzt an t kommen soll, dachte erst an quadrieren und p,q-formel aber das kommt nicht hin...zudem würde ich dann ja auf 4 ergebnisse kommen?

25.01.2012, 08:07

Dopap

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da musst du wohl oder übel nach $\begin{eqnarray*} \sqrt t \end{eqnarray*}$ auflösen und dann quadrieren.

25.01.2012, 11:19

minuu

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aber dann habe ich doch immer noch ein t auf der anderen seite? wie soll das gehen?

25.01.2012, 11:27

PhyMaLehrer

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$\begin{eqnarray*} t=(\sqrt{t} )^{2} \end{eqnarray*}$ Lehrer

Lehrer

25.01.2012, 11:35

minuu

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ja danke das weiß ich...aber wenn ich nach wurzel t auflöse, dann habe ich ja:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t}=(\frac{23}{18}+t)*\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

versteh nicht as ich jetzt damit machen soll?

25.01.2012, 11:40

blubbel

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Nach dem Quadrieren hast du irgendwo t und t², das kannst du das alles zusammenfassen und die pq-Formel anwenden.

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25.01.2012, 11:44

lgrizu

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
$\begin{eqnarray*} t=(\sqrt{t} )^{2} \end{eqnarray*}$ Lehrer

Lehrer

Betragsbildung nicht vergessen, es ist $\begin{eqnarray*} |t|=\sqrt{t}^2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

In der Aufgabenstellung ist nicht gefordert, dass t positiv ist, deshalb ist das recht wichtig.

Zitat:

Original von minuu

$\begin{eqnarray*} <br /> -\frac{23}{9} +2*t +\frac{3}{2}*\sqrt{t}=0 \end{eqnarray*}$

Du kannst nun einfach substituieren, setze $\begin{eqnarray*} \sqrt{t}=u \end{eqnarray*}$ , dann erhälst du eine quadratische Gleichung die man mit der pq Formel lösen kann.

Edit: halte dich zuerst einmal an blubbels und Dopaps Lösungsvorschlag, ich hänge meinen dann hinten dran.

25.01.2012, 11:50

blubbel

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Ups, das ist natürlich nochmal einfacher Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2012, 12:01

minuu

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$\begin{eqnarray*} \frac{529}{324} +t^{2}+\frac{9}{4}*t \end{eqnarray*}$

wenn ich das mit der p,q formel löse hab ich eine negative zahl unter der wurzel und das ist somit nicht lösbar unglücklich

unglücklich

25.01.2012, 12:04

minuu

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achso...also kann ich mir mein t quasi als x^2 denken und mein wurzel t als x?, aber müsste dann nicht theoretisch das selbe rauskommen als enn ich vorher quadrieren würde? und das geht ja nicht..

25.01.2012, 12:07

Nubler

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da steht ein $\begin{eqnarray*} \sqrt {t} \end{eqnarray*}$ in der angabe, somit ist die nichtnegativität von t über die definition der wurzel vorrausgesetzt

btw:
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{t}\right)^2=t \end{eqnarray*}$ (linke seite nur definiert für $\begin{eqnarray*} t\geq 0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(t^2\right)}=\|t\| \end{eqnarray*}$ (definiert für alle $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ )

25.01.2012, 12:09

lgrizu

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Jap, ist richtig Nubler, nicht aufgepasst.

@minuu:
Rechne einmal vor.

25.01.2012, 12:15

minuu

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{t} =-\frac{3}{4}\pm \sqrt{(\frac{3}{4})^2+\frac{23}{18} } \end{eqnarray*}$

und nach anschließendem quadrieren:

t1= 0,3679
t2=4,4379

25.01.2012, 12:20

lgrizu

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Wo kommen die 3/4 her ?

Sollte da nicht eher 3/8 stehen?

25.01.2012, 12:28

minuu

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wenn ir denn schon dabei sind :P :

alsooo, eigtl geht es ja dabei um die berechnung eines schnittwinkels.. ich hab die beiden kurven:
$\begin{eqnarray*} K(t)=\begin{pmatrix} 9*t \\ -\frac{23}{9}+2*t \\ \end{pmatrix}<br /> und<br /> L(t)=\begin{pmatrix} \Im \\ -\sqrt{\Im } \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, hab nun zunächst x1 und x2 gleichungen gleichgesetzt, das hatten wir ja an sich soweit ^^

dann hab ich die ableitungen gebildet:
$\begin{eqnarray*} K'(t)=\begin{pmatrix} 9 \\ 2 \\ \end{pmatrix} und L'(\Im )=\begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2}*t^{-\frac{1}{2}} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

jetzt gibt es ja diese wunderschöne forme für den schnittwinkell:

$\begin{eqnarray*} v=arccos \frac{f'(t1)*g'(t2)}{| f'(t1) |*| g'(t2) | } \end{eqnarray*}$

so hier stellt sich mir jetzt folgende frage:
also woher weiß ich denn was t1 für f und was t2 für g ist? kann ich mir das aussuchen? ich mein hier hab ich ja im grunde nur in einer ableitung noch ein t vorhanden, aber das verwirrt mich etwas?

25.01.2012, 12:30

minuu

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@ igrizu: nene, schau mal in meinem ganz ersten beitrag, da steht 3/2 und die durch zwei geteilt ergeben 3/4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.01.2012, 12:38

lgrizu

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Das ist mir schon klar, aber es sollte doch zwei mal durch 2 dividiert werden:

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{t}^2+\frac{3}{2} \sqrt{t}-\frac{23}{9}=0 \end{eqnarray*}$ Division durch 2 um den Koeffizienten von der höchten Potenz zu eliminieren ergibt

$\begin{eqnarray*} \sqrt{t}^2+\frac{3}{4} \sqrt{t}-\frac{23}{18}=0 \end{eqnarray*}$

Nun pq-Formel bzw. Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{t}+\frac{3}{8}\right)^2=\frac{23}{18}+\left(\frac{3}{8}\right)^2 \end{eqnarray*}$

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