Komplexes Polynom berechnen

25.01.2012, 09:50

T06061991

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Komplexes Polynom berechnen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe ein komplexes Polynom

$\begin{eqnarray*} f(z) = a_{3}z^{3} + a_{2}z^{2} + a_{1}z + a_{0} \end{eqnarray*}$

Dazu soll ich jetzt die unbekannten Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ Element C (also der komplexen Zahlen), so dass

i) i, 2i und -3 Nullstellen des Polynoms sind, und
ii) f(0) = -12 gilt.

Dabei ist zu beachten dass ich das ganze nicht über das Horner-Schema lösen darf.

Meine Ideen:
Tja mit meinen Ansätzen siehts sehr schlecht aus, mir schwebt da zwar eine Polynomdivision vor aber ich weiß nicht wie ich das angehen soll.
Bitte helft mir.

25.01.2012, 10:05

tmo

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Stichwort: Linearfaktoren.

25.01.2012, 10:13

T06061991

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Oke, die würde dann bei mir so aussehen:

$\begin{eqnarray*} a_{i} *(z-i)*(z-2i)*(z+3) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt, wenn ja wie gehts dann weiter?

25.01.2012, 10:46

Dopap

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Zitat:

Original von T06061991

$\begin{eqnarray*} a_{i} *(z-i)*(z-2i)*(z+3) \end{eqnarray*}$

nicht i als Index verwenden. Ausserdem ist das $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=a_{3} (z-i)(z-2i)(z+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=-12 \end{eqnarray*}$ einsetzen, $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ berechnen einsetzen ausmultiplizieren nach Potenzen von z sortieren und dann Koeffizientenvergleich.

25.01.2012, 11:11

T06061991

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ok,
also ich hab jetzt für $\begin{eqnarray*} a_{3}=2 \end{eqnarray*}$ rausbekommen. Nur dann hab ich wieder Probelme traurig

traurig

Jetzt steht ja da:

$\begin{eqnarray*} f(z) = 2z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0} \end{eqnarray*}$

Des war jetzt quasi der Punkt einsetzen...aber was soll ich jetzt ausmultiplizieren???

Kann ich die Linearfaktorzerlegung jetzt für alles a's anwenden???

Folglich würde dann rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f(z) = 2z^{3}+2iz^{2}-4z-12 \end{eqnarray*}$

P.S.:
Bitte entschuldigt meine Dummheit/ das ich wohl etwas schwer von Begriff bin, aber ich bemühe mich wikrlich und hoffe dass ihr mich weiterhin soll klasse unterstützt.

25.01.2012, 12:00

lgrizu

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Zitat:

Kann ich die Linearfaktorzerlegung jetzt für alles a's anwenden???

Die Frage verstehe ich nicht.

Zitat:

Folglich würde dann rauskommen:

$\begin{eqnarray*} f(z) = 2z^{3}+2iz^{2}-4z-12 \end{eqnarray*}$

Nö.

Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=a_3 z^3+a_2z^2+a_1z+a_0 \end{eqnarray*}$ .

Die Linearfaktorzerlegung ist $\begin{eqnarray*} f(z)=a_3 \cdot (z-z_0) \cdot (z-z_1) \cdot (z-z_2) \end{eqnarray*}$ , wobei die $\begin{eqnarray*} z_k, k \in \{0,1,2\} \end{eqnarray*}$ die Nullstellen des Polynoms sind.

Der Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ ist richtig berechnet, aber beim ausmultiplizieren scheinst du einen oder mehrere Fehler gemacht zu haben.

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25.01.2012, 12:10

T06061991

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Ok, ich habe also $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ richtig ausgerechnet, nur wo setze ich dass denn jetzt ein?

wenn ich es in f(z) einsetze kann ich damit doch nicht rechnen.

wie komme ich denn jetzt auf $\begin{eqnarray*} a_{2}, a_{1}, und a_{0} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht was ich ausmultiplizieren soll??? verwirrt

verwirrt

25.01.2012, 12:12

lgrizu

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$\begin{eqnarray*} f(z)=a_3 z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=a_3 \cdot (z-z_0) \cdot (z-z_1) \cdot (z-z_2) \end{eqnarray*}$ mit den Nullstellen $\begin{eqnarray*} z_0, z_1, z_2 \end{eqnarray*}$ .

Nun das errechnete $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ und die gegebenen Nullstellen einsetzen und ausmultiplizieren.

25.01.2012, 12:21

T06061991

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Wenn ich das ausmultipliziere kommt bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} f(z) = 2z^{3}+6z^{2}-6z^{2}i-18zi-4z-12 \end{eqnarray*}$

Was bringt mir diese Erkenntnis jetzt?
Wie gehe ich weiter vor?

MfG
Timo

25.01.2012, 12:22

lgrizu

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Du hast dein Polynom ausgerechnet.

Nun ncoh das Distributivgesetz loslassen auf die verschiedenen Potenzen von z und du hast es.

25.01.2012, 12:29

T06061991

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Oke, dann schaut das ganze folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} f(z)=z(2z^{2}+6z-6zi-18i)-12 \end{eqnarray*}$

Und wenn du jetzt sagst ich bin fertig, heißt das dann das ich die $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$

aus dieser Gleichung ableiten kann?!

Also quasi

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{3}=2<br /> a_{2}=6<br /> a_{1}=-6i<br /> a_{0}=-18i<br /> \end{eqnarray*}$

???

25.01.2012, 12:41

lgrizu

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unglücklich

Nein.

Sortiere nach den Potenzen und wende auf jede Potenz das Distributivgesetz an, deine Koeffienten sind komplexe Zahlen.

Also zum Besipiel die Potenz z^1, da hast du $\begin{eqnarray*} -18iz-4z \end{eqnarray*}$

Drücke das in der Form $\begin{eqnarray*} (a+bi)z \end{eqnarray*}$ aus unter Anwendug des Distributivgesetzes.

25.01.2012, 12:53

T06061991

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achso, ok dann kriege ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(z)= 2z^{3}+z^{2}(6-6i)-z(-4-18i)-12 \end{eqnarray*}$

aber jetzt bin ich soweit oder???

jetzt kann man die koeffizienten rauslesen?

$\begin{eqnarray*} <br /> a_{3}=2<br /> a_{2}=6-6i<br /> a_{1}=-4-18i<br /> a_{0}=-12<br /> \end{eqnarray*}$

Gott

Gott

25.01.2012, 12:57

lgrizu

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Ganz richtig ist das immer noch nicht, ein Vorzeichen ist falsch, es sollte lauten

$\begin{eqnarray*} f(z)=2z^3+6 \cdot (1-i)z^2-(4+18i)z-12 \end{eqnarray*}$

25.01.2012, 13:01

T06061991

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ou oke, seh ich ein

dann möcht ich mich abschließend noch bedanken, ihr seid echt die besten, das allein aus büchern zu pauken hätt ich sicherlich nicht geschafft.
Und sry für meine Unwissenheit, aber ihr seid echt geduldig Augenzwinkern

Augenzwinkern

find ich TOP.

Recht herzlichen Dank!!!

25.01.2012, 13:08

lgrizu

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Jderzeit gerne wieder, danke für die Blumen smile

smile

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