Hut - Problem

25.01.2012, 12:26

schnuffel_01

Hut - Problem

Meine Frage:
Auf einer Party werden n Hüte abgegeben. Diese sehen alle gleich aus (aber die Hutgröße unterscheidet sich). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Mann am Ende des Abends seinen Hut wiederbekommt?

Meine Ideen:
ich hatte die vermutung:
P(der 1. bekommt seinen Hut) = 1/n
P(der 2. bekommt seinen Hut = 1/(n-1)
....
P(der letzte bekommt seinen Hut = 1/1

Was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/n! fühlen würde

Allerdings, fürchte ich, dass dies so nicht richtig ist, da es ja sein kann, dass der eigene Hut garnicht mehr in der Menge der zur Auswahl stehenden Hüte vorkommt.

Daher ist mein neuer Ansatz:
$\begin{eqnarray*} A_1 \end{eqnarray*}$ = Ereignis, dass der der i-te seinen Hut bekommt
p() = $\begin{eqnarray*} p(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ... \cup A_i) \end{eqnarray*}$

Allerdings habe ich so einen Term noch nie aufgelöst.
Ich kenne die Formel:
$\begin{eqnarray*} p(A_1 \cup A_2) = p(A_1) + p(A_2) - p(A_1 \cap A_2) \end{eqnarray*}$
Aber wie wende ich das auf oben das an?

25.01.2012, 13:34

René Gruber

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RE: Hut - Problem

Zitat:

Original von schnuffel_01
ich hatte die vermutung:
P(der 1. bekommt seinen Hut) = 1/n
P(der 2. bekommt seinen Hut = 1/(n-1)
....
P(der letzte bekommt seinen Hut = 1/1

Was zu einer Wahrscheinlichkeit von 1/n! fühlen würde

Das Ergebnis ist richtig, deine Formeln allerdings nicht - zumindest ist die Beschreibung nicht vollständig. Es müssen ab der zweiten Zeile bedingte Wahrscheinlichkeiten stehen:

P(der 1. bekommt seinen Hut) = 1/n
P(der 2. bekommt seinen Hut | der 1. hat seinen Hut bekommen) = 1/(n-1)
P(der 3. bekommt seinen Hut | der 1. und 2. haben jeweils ihren Hut bekommen) = 1/(n-2)
....
P(der letzte bekommt seinen Hut | 1. bis vorletzter haben jeweils ihren Hut bekommen) = 1/1

In Formeln:

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cap \ldots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2 \bigm| A_1) \cdot P(A_3 \bigm| A_1\cap A_2)\cdot \ldots \cdot P(A_n \bigm| A_1\cap \ldots \cap A_{n-1}) \end{eqnarray*}$

Man kann diese Problemstellung aber auch gleich "ganzheitlich" betrachten: Jeder der $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ Permutationen der Hüte ist gleichwahrscheinlich, d.h. jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ . Das trifft dann u.a. auch auf die identische Permutaion (=jeder kriegt seinen Hut) zu. Augenzwinkern

25.01.2012, 13:47

schnuffel_01

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RE: Hut - Problem
Die Überlegung mit den Permutationen erscheint mir sehr logisch und einfach verständlich (Danke dafür! Blumen

)...

Die Wahrscheinlichkeiten werden geschnitten, wieso komme ich bloß auf die Vereinigung ^^

06.03.2012, 10:59

Student ETHZ

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Hut Problem

Zitat:

Original von schnuffel_01
Meine Frage:
Auf einer Party werden n Hüte abgegeben. Diese sehen alle gleich aus (aber die Hutgröße unterscheidet sich). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Mann am Ende des Abends seinen Hut wiederbekommt?

Lösung beruht auf Prinzip von Inklusion und Exklusion (Wikipedia...).

Es handelt sich um ein Laplace Modell auf dem Raum der Permutationen von n Elemen-
ten. Betrachte das Ereignis
Ai = {i ist ein Fixpunkt der Permutation} = {der i-te Mann bekommt seinen Hut zurück}.
Weiter im Anhang.

Gruss

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