Kern und Bild einer Matrix

15.01.2007, 18:37

Homer42

Kern und Bild einer Matrix

Hallo allerseits,

kann mir jemand helfen? verstehe nicht so ganz, das der Kern bzw. das Bild einer Matrix ist.
Ist das bild = der dimension???
aber was ist der kern?

dankeschön!! Wink

15.01.2007, 18:42

tigerbine

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RE: Kern und Bild einer Matrix
Also zunächst einmal stellt Matrix eine Lineare Abbildung L: V -> W bzgl. der Basen des Urbild- und Bildraumes dar. Die Begriffe Kern und Bild gehören zur Linearen Abbildung und Bezeichen 2 Unterräume.

Kern(L) ist ein Unterraum von V. In ihm liegen alle Urbilder der 0 von W. Also alles was im Kern liegt wird auf die Null abgebildet.

Bild(L) ist ein Unterraum von W, in ihm liegen die Bilder, also was L mit den Vektoren von V macht.

15.01.2007, 19:29

Homer42

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danke!

kern und bild sind bei abbildungen dann klar smile

mein problem liegt im fall der matrizen.

Mal angenommen ich habe eine Matrix A= $\begin{eqnarray*} \left [\begin {array}{cccc} 1&0&1&1\\{\medskip}0&1&-1&1\\{\medskip}-1&-2&1&-3\end {array}\right] \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie Kern ( $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ ) und Bild ( $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ )

Was wäre das in diesem Fall, oder wie kann ich das berechnen?

15.01.2007, 19:32

SilverBullet

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Um den Kern zu bestimmen würde ich aus der Matrix ein Gleichungssystem machen und die einzelnen Gleichungen = 0 setzten.

Dann bekommst du einen Vektor raus diese spannt den "Kern" welche ja ein Unterraum ist auf.

15.01.2007, 21:28

tigerbine

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Bestimmen Sie Kern ( $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ ) und Bild ( $\begin{eqnarray*} f_A \end{eqnarray*}$ )

Diese Frage lautet übersetzt: Bestimme den Kern und Bild der lin. Abbildung f mit der Darstellenden Matrix A. Augenzwinkern

Für den Kern musst Du das homogene LGS Ax=0 lösen.

Du bekommst unter umständen mehr als einen Vektor als Lösung raus.---Gruß an Silver---. Diese Spannen dannn den Kern auf.

Für das Bild betrachtest Du einfach die Bilder der Standardeinheitsbasis. Diese spannen den Bildraum auf.

16.01.2007, 11:42

SilverBullet

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Zitat:

Du bekommst unter umständen mehr als einen Vektor als Lösung raus.---Gruß an Silver---

Voll überzeugt Augenzwinkern

16.01.2007, 12:28

Homer42

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vielen vielen dank soweit! smile

ich bekomme beim auflösen des lgs eine zeile 0=0

was folgt daraus und wie gehe ich damit um?

so wie ich es dann gemacht habe, hätte ich als lösungsmenge zwei vektoren, nämlich einen vektor mal $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und einen mal $\begin{eqnarray*} lambda \end{eqnarray*}$
kann das überhaupt sein?

(zur vollständigkeit: $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ * (-1,1,1) + $\begin{eqnarray*} lambda \end{eqnarray*}$ * (-1,-1,0)

geht sowas???

ps: wie mach ich denn ein latex-lambda?? habt ihr da vielleicht einen guten inet tip mit übersicht der befehle oder lernkurs?

16.01.2007, 13:05

klarsoweit

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Du hast vermutlich zu dieser Matrix umgeformt:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1&0&1&1 \\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end {pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die letzte Zeile kannst du ignorieren. Betrachte die 2. Zeile und dort alle Elemente rechts von der 1. Eins. Das sind hier die Koeffizienten zu den Variablen x3 und x4. Daraus folgen 2 Lösungsfälle, nämlich x3=0 und x4=1 sowie x3=1 und x4=0. Daraus kannst du jeweils x1 und x2 bestimmen. Die Lösungen bilden dann die Basis des Kerns.

Und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in latex schreibt man \lambda. Augenzwinkern

16.01.2007, 13:38

Homer42

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dankeschön!!

ja genau so lief es.

okay was du sagst klingt gut, aber WARUM kann ich den x2-koeffizienten ignorieren?

und ganz allgemein, mal angenommen ich muss ein gleichungssystem einem vektor ungleich 0 auf der rechten seite lösen. wie gehe ich dann mit einer 0-zeile um??

16.01.2007, 13:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Homer42
okay was du sagst klingt gut, aber WARUM kann ich den x2-koeffizienten ignorieren?

Du sollst die x2-Komponente nicht ignorieren, sondern aus x3=0 und x4=1 berechnen. Entsprechend der 2. Fall.

Zitat:

Original von Homer42
und ganz allgemein, mal angenommen ich muss ein gleichungssystem einem vektor ungleich 0 auf der rechten seite lösen. wie gehe ich dann mit einer 0-zeile um??

Wenn du in der Matrix eine Null-Zeile bekommst, aber in der entsprechenden Komponente der rechten Seite keine Null steht, dann ist das GLS nicht lösbar. Ansonsten kannst du die Zeile wieder ignorieren. Augenzwinkern

16.01.2007, 14:15

Homer42

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okay. vielen dank dafür, habs nun endlich verstanden =)

habe noch eine diesbezügliche frage, aber die stecke ich besser in einen neuen thread mit passenderem thema.

DANKESCHÖN =)

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