Herleitung der Formel für den Abstand windschiefer Geraden

25.01.2012, 17:42

Sabine03

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Herleitung der Formel für den Abstand windschiefer Geraden

Meine Frage:
Hallo liebe Mathematiker,
in der Schule haben wir gestern die Formel $\begin{eqnarray*} d=|(\vec{q} -\vec{p} )\cdot \vec{n_{0} } | \end{eqnarray*}$ für den kürzesten Abstand zweier windschiefer Geraden hergeleitet.

Der Vektor p ist der Aufvektor der Geraden g und der Vektor q ist der Aufvektor der Geraden h.

Ich habe Probleme diese Formel nachzuvollziehen. Ich hab mich schon ein bisschen im Web umgeschaut und immer etwas von Ebenen in diesem Zusammenhang gelesen, leider fiel bei dem Vortrag unserer Lehrers heute kein einziges mal der Begriff der Ebene. Wobei es aber offensichtlich ist, da diese Formel mich stark an die Hesseform einer Ebene erinnert.

Meine Ideen:
Ich stelle mir das so vor:
Man stellt sich eine Ebene vor, wobei die Gerade g, also auch der Punkt P Element von ist. Nun berechnen wir den Abstand des Punktes Q von dieser Ebene. Aber 1. gibt es doch unendlich viele Möglichkeiten, wie die Ebene liegt, da wir nur wissen, dass eine Gerade auf ihr liegt und 2. kennen wir die Koordinaten vom Punkt Q zwar (Aufvektor von h) aber wer sagt denn, dass $\begin{eqnarray*} | \vec{PQ} | \end{eqnarray*}$ auch wirklich der kürzeste Abstand ist?

Ich bitte euch Licht ins dunkeln zu bringen. Danke!!

Lieben Gruß,

Sabine

25.01.2012, 18:41

mYthos

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Das Verständnis für diese Formel folgt allein aus der Definition des skalaren Produktes: Dieses ist für zwei Vektoren immer das Produkt der Länge des ersten Vektors und der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.

Beim kürzesten Normalabstand sind nun diese beiden Vektoren erst mal der Vektor von einem beliebigen Punkt A1 der ersten Geraden zu einem beliebigen Punkt A2 der zweiten Geraden (man nimmt einfach die beiden Stützpunkte) und zum Zweiten der auf den Richtungsvektoren der beiden Geraden normal stehende Normalvektor, welcher auf die Länge 1 normiert wurde. Nun wird die Projektion des Verbindungsvektors A1A2 der beiden Stützpunkte auf diesen Normalvektor betrachtet: Deren Länge ist gleich dem gesuchten Normalabstand.
Das skalare Produkt dieser beiden Vektoren beschreibt nun ebenfalls die Länge dieses Abstandes, weil es den Betrag des Normalvektors (welcher gleich 1 ist) mal der Projektion des Vektors A1A2 auf diesen normierten zweiten Vektor darstellt.
Das Resultat wird dann noch in Betragszeichen gesetzt, weil es nur positiv sinnvoll ist.

mY+

25.01.2012, 19:05

riwe

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wenn man das zeug ausschreibt, kann man die formel auch so interpretieren:

$\begin{eqnarray*} V_{prisma}=G\cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d=h=\frac{V_{spat}}{G_{parallelogramm}}=\frac{|(\vec{q}-\vec{p})\cdot(\vec{r}_1\times\vec{r}_2)|}{|\vec{r}_1\times\vec{r}_2|} \end{eqnarray*}$

mit dem kreuzprodukt aus den richtunggsvektoren der zwei geraden

25.01.2012, 19:17

Sabine03

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Okay, alles mehr oder weniger verständlich. Ich möchte aber nochmal zu der Ebene kommen:

Wir können doch eine Ebene aus den beiden Geraden bilden, die folgende Eigenschaften hat:
1. G1 liegt in der Ebene
2. E ist Parallel zu G2

Die Ebene würde ich wie folgt bilden:

Stützvektor: Aufvektor von G1
Die Spannvektoren sind dann die Richtungsvektoren von G1 und G2.

Und schon habe ich ein mir bekanntes Problem: Den Abstand von Punkt zu Ebene Berechnen. Als Punkt nehme ich dann den Aufvektor von G2. Und die Formel für Abst(E,P) ist identisch mit dem Abstand der Geraden.

Nach meinen Vorstellungen ist es aber so:
Zum berechnen haben wir zwar den Punk Q benutzt, aber dies muss doch nicht heißen, dass der Punkt Q tatsächlich der eine Punkt auf der Geraden ist, der mit einem anderen auf der anderen Geraden den kürzesten Abstand bildet. Wir hatten eine Ebene, durften also jeden Punkt nehmen, da die Ebene parallel zur Geraden ist, aber nicht jeder Punkt "trifft" die Gerade, die in der Ebene liegt.

Ist verständlich, was ich sagen will?

25.01.2012, 19:26

mYthos

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Natürlich. Da aber die 2. Gerade parallel zur Ebene ist, liefert jeder Punkt den gleichen Abstand, eben diesen Normalabstand. Der Punkt Q ist aber in der Regel NICHT Endpunkt des Gemeinlotes, das ist klar. Aber dir ging es ja nur um die Länge des Abstandes und dazu war die beschriebene Vorgangsweise richtig.

Auch die in deinem Erstbeitrag zitierte Formel enthält die Endpunkte des Gemeinlotes nicht. Sie liefert ebenfalls lediglich den Normalabstand. WO dann dieser liegt, also die Bestimmung der Endpunkte auf den beiden Geraden, dazu ist die Methode der Hilfsebenen oder das Verfahren des geschlossenen Vektorzuges geeignet.

mY+

25.01.2012, 20:24

Sabine03

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Ja super, dann habe ich das jetzt sogar etwas mehr verstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich brauche immer irgendwelche Vorstellungen, um soetwas nachzuvollziehen, da genügt es nicht, wenn man mir einfach eine Formel gibt und meint "mach mal" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich werde mich mal informieren, wie man dann die Punkte rausfinden kann, das interessiert mich dann jetzt ja doch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schönen Abend noch,

Sabine

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25.01.2012, 20:29

mYthos

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Dir auch!
Du kannst sogar im Board nachlesen, denn es kamen hier schon zahlreiche diesbezügliche Aufgaben zur Besprechung!

mY+

25.01.2012, 21:32

Sabine03

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Also so wie ich es jetzt verstanden habe:

Differenzvektor der Punkte (nennen wir sie mal wieder P und Q). der Ortsvektoren bilden, indem man die Geradengleichungen subtrahiert (ist hierbei wohl egal welche von welcher), dann erhält man einen Vektor mit Komponenten in Abhängigkeit der beiden Parameter, zum Beispiel r und s.

Dieser Vektor ist skalarmultipliziert mit 1. dem Richtungsvektor von g1 = 0 und 2. dem Richtungsvektor von g2=0.
Beide Skalarprodukte bilden, wir erhalten 2 Bestimmungsgleichungen für 2 Variablen, passt also. r und s jeweils in die Geradengleichung einsetzen und wir haben P und Q.

Das war nun wohl das Verfahren des geschlossenen Vektorzuges, oder? (Was ist ein Vektorzug?)

Noch eine Frage zur Definition des Skalarprodukts:

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos(\alpha ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{v} = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3} \end{eqnarray*}$

Wieso ist das das selbe?

25.01.2012, 23:17

mYthos

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1.

Der geschlossenen Vektorzug wurde hierboards schon in mehreren Beispielen erklärt. Hast du dies gefunden? Du hast nur beschrieben, wie du den Normalvektor berechnest. Das geht besser mittels des Vektorproduktes. Ein geschlossener Vektorzug war dies noch nicht.
___________________

In einem geschlossenen Vektorzug ist die Summe aller Vektoren gleich Null. Oder: Einer der Vektoren ist gleich der Summe aller anderer Vektoren.

Wir gehen davon aus, dass die Gerade g1 den Stützpunkt P und den Richtungsvektor g1 hat, analog die Gerade g2 den Punkt Q und g2. Weiters sei C der Endpunkt des Lotes auf g1 und D jener auf g2, diese beiden Punkte wollen wir ermitteln.
Wir berechnen zunächst den Normalvektor n, vorzugsweise als das Vektorprodukt g1 x g2 ("x" vektorielles Multiplikationszeichen).

Nun bilden die Vektoren PC,CD,DP,PQ einen geschlossenen Vektorzug. Es gilt:

PQ = PC + CD + DQ

PQ .. bekannt aus den beiden Stützpunkten

PC .. PC = r*g1 (Geradengleichung, r Parameter)
DQ .. DQ = s*g2 (Geradengleichung, s Parameter)

CD = t*n (n bekannter Normalvektor, t Parameter)

Aus der Vektorgleichung

PQ = r*g1 + s*g2 + t*n

werden durch zeilenweises Anschreiben die 3 Parameter r, s, t aus dem vorliegenden LGS berechnet. Letztendlich ist

C = P + r*g1
D = Q + s*g2

------------------------------------------

2.
Hinweis: Es gilt die Identität $\begin{eqnarray*} \vec a^2 = \vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2 \end{eqnarray*}$ und die Distributivität des Skalarproduktes.

Der Zusammenhang wird mittels der Gleichung

$\begin{eqnarray*} (\vec u - \vec v)^2 = \vec u^2 + \vec v^2 - 2 \vec u \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

verifiziert.

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (u_1-v_1)^2+(u_2-v_2)^2+(u_3-v_3)^2=u_1^2+u_2^2+u_3^2+v_1^2+v_2^2+v_3^2-2\vec u \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1^2-2u_1v_1+v_1^2+u_2^2-2u_2v_2+v_2^2+u_3^2-2u_3v_3+v_3^2=u_1^2+u_2^2+u_3^2+v_1^2+v_2^2+v_3^2-2\vec u \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

Nach Streichung aller beidseits gleichen Terme und Division durch (-2) bleibt

$\begin{eqnarray*} u_1v_1+u_2v_1+u_3v_3=\vec u \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

mY+

30.01.2012, 22:37

Sabine03

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N'abend

Augenzwinkern

Da bin ich wieder...
Ersteinmal vielen lieben Dank für deine ausführliche Erklärung. Die Sache mit dem Vektorzug ist eine gute nachvollziehbare Idee, danke!

"Nun bilden die Vektoren PC,CD,DP,PQ einen geschlossenen Vektorzug."

Meinst du nicht eher die Vektoren PC,CD, DQ, PQ, sodass PQ=PC+CD+DQ gilt? (Kommst ja auch auf das selbe)

Gut, dann habe ich die 3 Parameter berechnet, mit r und s berechne ich die Koordinaten der Ortsvektoren c und d. Was mache ich aber mit t? Wenn die Koordinaten gefragt sind, ist t nutzlos, oder? Aber ich könnte doch theoretisch mit t und dem Normalenvektor n den Vektor CD erhalten und damit auch den kleinstmöglichen Abstand der windschiefen Geraden über den Betrag. Diese Methode wäre also eine Alternative zu meiner obigen Methode, indem ich mir eine zur zweiten geraden parallele Ebene denke, oder? Und ist hiermit auch die Methode mit der Hilfsebene, die du erwähntest, gemeint? Inwieweit erhalte ich hieraus aber die Koordinaten der zwei Lotfußpunkte?

Grüße,
Sabine smile

smile

31.01.2012, 00:57

mYthos

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Zitat:

Original von mYthos
...
Nun bilden die Vektoren PC,CD,DP,PQ einen geschlossenen Vektorzug. Es gilt:

PQ = PC + CD + DQ
...

Sorry, Schreibfehler! Es sollte lauten, dass PC, CD, DQ und PQ den geschlossenen Vektorzug bilden!
Die 2. Zeile für PQ stimmt ja dann wieder.
-----------

t ist nicht nutzlos, denn ohne diesen Parameter könnten die Gleichungen des geschlossenen Vektorzuges nicht angesetzt werden. Ausserdem ist, wie richtig bemerkt, t mit dem Normalvektor ein Maß für die Länge des Gemeinlotes.
----------

Eine durch g2 gehende und zu der Hilfsebene (g1, g2') senkrechte Ebene schneidet die Gerade g1 bereits in einem Endpunkt des Gemeinlotes (C). Analog kann man auch zu dem Punkt D kommen.

Ich finde aber die anderen Methoden effizienter.

mY+

31.01.2012, 15:02

Sabine03

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RE: Herleitung der Formel für den Abstand windschiefer Geraden
So, habe beide Varianten einmal anhand eines Beispieles durchgerechnet. Bin jedoch auf einen Widerspruch gestoßen:

Die Geradengleichungen lauten:

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} =\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Methode:

Der Normalenvektor lautet dann $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also die Ebenengleichung in der Hesseform:

$\begin{eqnarray*} |E: \frac{1}{11}\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot [\vec{x} -\begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} ] = 0 \end{eqnarray*}$

Nun den Aufvektor von der Geraden h eingesetzt und ich habe den Abstand der Geraden, ich komme auf 11.

Die Punkte werden ermittelt:

Ich bilde den Vektor PQ (P und Q sind die Aufvektoren der Geraden) erhalte mit der Bedingung, dass dieser Vektor skalarmultipliziert mit dem Richtungsvektor von h und dem Richtungsvektor von g =0 ist, 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, dass ich dann löse. t=3, r=-1.

Eingesetzt in die Geradengleichungen erhalte ich die Punkte

P(6/9/-2)
Q(0/0/-4)

Bilde ich auch diesen Punkten den Differenzvektor, so hat dieser die Länge 11, mein Ergebnis scheint also richtig zu sein.

Bei dem geschlossenen Vektorzug komme ich aber auf ein anderes Ergebnis:

2. Möglichkeit:

$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} =\vec{PC} +\vec{CD} +\vec{DQ} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -10 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} = r\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Löse ich das Gleichungssystem komme ich auf r=s=-1 und t=-3.

C ist also identisch mit P aus der anderen Variante.
Allerdings ist D nicht identisch Q. Also komme ich hier auf andere Vektoren und auch auf einen anderen Abstand. Als Abstand erhalte ich hier, wenn ich -1 mit dem Normalenvektor multipliziere 11 (wie richtig), wenn ich den Differenzenvektor bilde 19,31.

Wo liegt der Fehler? Im Prinzip ist ja nur das Problem, das mein t Parameter ein Vorzeichendreher hat..

02.02.2012, 01:05

mYthos

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Wer sagt denn, dass C und D identisch mit P und Q sein müssen?
Wenn, dann ist es nur Zufall.

Du dürftest offensichtlich 2 Fehler gemacht haben:

1.
C ist NICHT (6; 9; 2), sondern --> (6; 9; -2), bei der 3. Koordinate hast du dich mit dem Vorzeichen vertan.

2.
Den Dreher hast du richtig erkannt.
Weil beim Vektorzug PQ = PC + CD + DQ vereinbart wurde, musst du, um von Q nach D zu kommen, den Parameter t negativ nehmen, denn die Laufrichtung geht ja GEGEN den Richtungsvektor von g2. Somit ist

D = (-3; 0; 5) + 3*(1; 0; -3) = (0; 0; -4)

Der Vektor CD ist dann D - C = (0; 0; -4) - (6; 9; -2) = (-6; -9; -2), dessen Länge 11 ist.
Eine weitere Kontrolle ist die Berechnung von D mittels C + s*(6; 9; 2) = (6; 9; -2) - (6; 9; 2) = (0; 0; -4)

mY+

02.02.2012, 06:58

Sabine03

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Ich meine mit identishc nur, das er mit meiner anderen methode übereinstimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wieso ist die 3. Komponente denn -2? Ich rechne doch 0-(-2)=2.

Das mit dem Vorzeichenwechsel bei t ist einleuchtend smile

smile

02.02.2012, 16:21

Sabine03

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Okay, bitte ignoriere meinen letzten Beitrag, hat sich erledigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du meintest C und nicht den Normalenvektor... Aber für C habe ich auch -2, ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was anderes: Wieso genau muss t negativ sein? Also wie kann ich dem Vektor entnehmen, dass ich in die umgekehrte Richtung "gehen" muss? Dies könnte doch quasi auch bei g1 der Fall sein, aber der Parameter ist positiv.

Gruß,

Sabine

02.02.2012, 17:20

Sabine03

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okay, editieren geht nichtmehr, tut mir Leid, dass ich dann soviel neue Beiträge hier schreibe..

Ich glaube ich habe mich eben missverständlich ausgedrückt. Es geht um die selben Werte wie eben, bloß habe ich mir jetzt eine Skizze gemacht, die als Anhang angefügt sein müsste. Ich habe die Richtungsvektoren u und v sowie den Normalenvektor n jetzt an meine Rechnung angepasst gezeichnet. Ich hätte aber genauso gut n anders orientieren können, wodurch sich der s-Parameter dann mit einem negativen Vorzeichen behaften würde. Gleiches gilt für u und für (dann mit positivem t) v.

Aber woher weißt ich, wie ich auf einer Skizze welchen Vektor zu zeichnen habe?

Gruß,
Sabine
[attach]22968[/attach]

03.02.2012, 00:59

mYthos

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Du kannst zu Beginn die Vektoren natürlich nach Belieben orientieren, je nachdem werden sich auch für die Parameter verschiedene Vorzeichen ergeben.
Die einmal gewählte Anordnung darf dann beim Durchlaufen der geschlossenen Masche jedoch nicht mehr verändert werden.

Wenn dir letztendlich bei der Berechnung der Lotfußpunkte C und D Vektoren begegnen, die gegen diesen Weg orientiert sind, muss der zuvor errechnete Parameter negativ genommen werden.

In deiner Skizze ist es der Vektor DQ (dieser darf wegen der Laufrichtung in der Masche nicht umgekehrt werden), welcher zu dem Vektor v entgegengesetzt orientiert ist.
Deswegen musst du die folgende Annahme treffen:

1.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{PQ} = r \cdot \vec u + s \cdot \vec n - t \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

--> r = s = -1 und t = +3

2.

$\begin{eqnarray*} D = Q + t \cdot \vec v \end{eqnarray*}$

Und wieder ist D = (-3; 0; 5) + 3*(1; 0; -3) = (0; 0; -4)

mY+

03.02.2012, 06:49

Sabine03

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Achso, okay smile

smile

Dann hätten wir alles besprochen.
Vielen herzlichen Dank an dich!

Gruß,
Sabine

05.02.2012, 19:31

Sabine03

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Ich bins nochmal..
Beim durchrechnen bin ich schon wieder auf etwas gestoßen

Nehmen wir an, ich orientiere die Vektoren n und v anders, als in meiner Zeichnung zu sehen ist (u bleibt so wie der ist), dann würde sich ergeben:

PQ = r*u - s*n + t*v

Ich erhalte dann: r=-1, s=1 und t=-3. Aber mit diesen Werten komme ich dann nicht auf einen Abstand von 11.

Selbes wenn ich die Vektoren so orientiere, dass PQ= r*u + s*n + t*v gilt.
Dann erhalte ich r=s=-1 und t=-3.

Was mache ich hier falsch?

05.02.2012, 23:39

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Fehler ist der, dass du das System falsch aufgelöst hast, denn dann ist r = -1, s = 1 und t = 3. Also stimmt dein Wert für t nicht.

Ich frage mich allerdings, welchen Wert das Umdrehen der Vektoren und die neuerliche Berechnung haben soll. Es bringt rein gar nichts.

Wieder ist C = Q + 3v und das führt daher zum gleichen und richtigen Resultat. Erkennst du dieses eigentlich an?

mY+

06.02.2012, 06:42

Sabine03

Auf diesen Beitrag antworten »

Dochdoch, mit dem Ergebnis stimmt ich schon überein. Aber es ist doch merkwürdig, wenn man auf 2 Wegen 2 unterschiedliche Ergebnisse erhält.

Ich habe dann dieses LGS für PQ = r*u - s*n + t*v:

-10 = r - 6s + t
-7 = -2r - 9s
1 = 6r - 2s -3t

Und wenn ich meinen Taschenrechner das lösen lasse erhalte ich r=-1, s=1 und t=-3.
Was dann wieder auf ein anderes Ergebnis führt. Deine Werte erfüllen dieses Gleichungssystem ja nicht.

06.02.2012, 12:51

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sabine03
...
Ich habe dann dieses LGS für PQ = r*u - s*n + t*v:

-10 = r - 6s + t
-7 = -2r - 9s
1 = 6r - 2s -3t
...

Kein Wunder, dieses System ist unzutreffend, weil die Gleichungen NICHT konform zu deiner Skizze sind. Denn es ist v = (-1; 0; 3), daher kommt:

-10 = r - 6s - t
-7 = -2r - 9s
1 = 6r - 2s +3t

mY+

06.02.2012, 21:22

Sabine03

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Ich verstehst einfach nicht...

Ich denke mir die Skizze von oben, allerding zeigt jetzt der Vektor u von P nach C, Vektor n von D nach C und der Vektor v zeigt von D nach Q.

Dann gilt das untere:

PQ = r*u - s*n + t*v

Gehen wir den Weg von P über C und D nach Q, so stimmt jediglich die Richtung von n auf der Skizze nicht, daher das negative Vorzeichen. Die Vektoren u und v sind entlang unseres Weges gerichtet -> positives Vorzeichen.

Wieso drehst du dann also die Vorzeichen vom Vektor t um? Der ist doch in unserem Fall "richtig" gerichtet.
Oder gibt es einen Zusammenhang zwischen der Orientierung der beiden Richtungsvektoren der Geraden und der Orientierung deren Normalenvektors?

06.02.2012, 21:48

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht nicht um t, das ist nur der Parameter, sondern um den Vektor v. Dort drehe ich definitiv NICHTS um, denn v lautet (-1; 0; 3). Diesen Vektor multipliziere ich einfach mit t und belasse ihn so (additiv). Daher kommen die -t und die +3t

mY+

07.02.2012, 07:00

Sabine03

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Aber v lautet doch (1 ; 0 ; -3)?! Jedenfalls steht das in der Geradengleichung von h.

07.02.2012, 19:14

mYthos

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Man kann ja wie gesagt am Beginn v so orientieren, wie man will.
Aber ok, dann ist v eben (1; 0; -3). Dann sind deine Lösungen richtig und es ist t = -3. Nun wird aber die Masche auf der Geraden h entgegengesetzt zu v durchlaufen (auf den Umlaufsinn habe ich dich ebenfalls schon mal hingewiesen!), daher musst du den v jetzt "umdrehen" (oder bei t das Vorzeichen wechseln, was dasselbe ist).

Und wieder ist D = (-3; 0; 5) - 3*(-1; 0; 3) = (0; 0; -4)

Wie man es dreht und wendet, es muss natürlich das richtige Resultat herauskommen Big Laugh

Big Laugh

mY+

07.02.2012, 20:01

Sabine03

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Okay. Es gibt ein v, das zeigt nach links, und ein anderes, das zeigt nach rechts. Und es gibt ein u, das nach links zeigt, und ein u, das nach rechts zeigt. Das selbe mit v. Aber woher weiß ich, ob u oder -u (oder v oder -v, oder n oder.....) nach links bzw. rechts zeigt?

Es tut mir leid.. ich werde dann wohl eher die andere Methode durchführen, die wo ich die Geraden subtrahiere und so.. diesen Weg werde ich wohl nie verstehen... unglücklich

unglücklich

Aber einer reicht ja auch.. Ich gebe hiermit auf verwirrt

verwirrt

07.02.2012, 22:49

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgeben tut man einen Brief - und das auch kaum mehr im Zeitalter der E-Mails.
Vorschlag: Vergiss alles Vorhergehende und fange von Null an. Erstelle eine entsprechende neue Skizze, trage die gegebenen Punkte und Vektoren ein und lege den Umlaufsinn fest.

Geschlossenen Vektorzug: PC,CD,DP,PQ

PQ = PC + CD + DQ

PC = r*u
CD = s*n
DQ = t*v
-->
PQ = r*g1 + s*n + t*v

Für v setzt du den von D in Richtung Q gehenden Vektor ein, dann stimmen bereits alle Vektoren in der Masche mit dem Umlaufsinn überein und man muss vorerst nichts umorientieren. Nun erfolgt die Berechnung von r, s und t.
Um D zu berechnen, multiplizierst du die Gleichung DQ = t*v mit -1: --> QD = -t*v --> D = Q - t*v

mY+

08.02.2012, 16:11

Sabine03

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs nochmal gerechnet (siehe Bild) und komme für t erneut auf -3.
Aber ich glaube ich kann jetzt genau sagen, was ich an dem ganzen Schema nicht verstehe.
Du meintest, es sei egal, wie ich die Vektoren orientiere. Aber das kommt doch irgendwie nicht hin.
Die Vektoren u, v und n sind die, die ich auf dem Bild links hingeschrieben habe. Die Richtungsvektoren der Geraden und deren Kreuzprodukt. So, nun dachte ich, es sei doch am einfachsten, wenn alle Vektoren entlang des Weges zeigen würden. Also u von P nach C, n von C nach D und v von D nach Q. Also habe ich es so eingezeichnet. Immer davon ausgehend, dass die Vektoren die Komponenten haben, wie aufgeschrieben. Aber so wie ich es hier mache, ist es offensichtlich falsch, weil etwas falsches rauskommt. Durch Probieren komme ich aufs Ergebnis, dass v von Q nach D zeigen muss. Heißt, so wie ich v hier eingezeichnet habe, wäre es eigentlich -v.
WIESO? Woher weiß ich, wenn ich nur 2 geradengleichungen habe, ob ein (Richtungs-)Vektor vom Punk X zum Punkt Y oder vom Punkt Y zum Punkt X orientiert ist?
Wenn ich das verstehen würde, hätten wir das Problem aus der Welt geschafft Big Laugh

Big Laugh

[attach]23050[/attach]

Edit (mY+): Zweites gleiches Bild wurde entfernt.

09.02.2012, 10:12

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir gefällt es, dass du NICHT aufgibst! Das ist auch so Usus bei echten Mathematikern! Big Laugh

Big Laugh

Die arbeiten so lange daran, bis sich der Knoten endlich auflöst.

Mit der Skizze und deiner Rechnung bin ich voll d'accord.
Der Fehler liegt zuletzt bei der Berechnung von D mittels des Vektors t*v
Deswegen habe ich dir bereits im Vorpost erklärt, wie du dann vorgehen musst.

Zitat:

Original von mYthos
...
Um D zu berechnen, multiplizierst du die Gleichung DQ = t*v mit -1: --> QD = -t*v --> D = Q - t*v
...

Also nochmals, langsam, Schritt für Schritt:

Aus der Skizze folgt DQ = t*v. Dann --> Q - D = t*v --> Q - t*v = D (Q - D wegen der Regel "Endpunkt - Anfangspunkt")
Denn der Vektor v liegt jetzt zwar schön brav in Umlaufrichtung, zeigt aber von D nach Q. Wenn wir D berechnen wollen, brauchen wir jedoch den Vektor von Q nach D.

Somit ist

t*v= (-3; 0; 9) und D = (-3; 0; 5) - (-3; 0; 9) = (0; 0; -4)

Zur Überprüfung berechnen wir nochmals D, diesmal über C und s*n (r und s werden lt. Lösung des lGS -1 gesetzt):

C = P + r*u = (7; 7; 4) + (-1; 2; -6) = (6; 9; -2)
D = C + s*n = (6; 9; -2) + (-6; -9; -2) = (0; 0; -4)

Und alles löst sich in Wohlgefallen auf Big Laugh

Big Laugh

mY+

09.02.2012, 15:09

Sabine03

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Tatsache das ich nicht aufgebe lässt sich ganz einfach begründen: Mich interessiert es Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich habs verstanden... Big Laugh

Big Laugh

Also so wie es jetzt ist, zeigt die Gerade h in die falsche Richtung und wenn wir ein positives Vielfaches von v nehmen, würden wir nie in D ankommen, deswegen Vorzeichenwechsel. Aus -3 wird +3! Wer hätte gedacht, dass ich das nochmal verstehen würde Big Laugh

Big Laugh

Vielen vielen Dank für deine ausreichende Geduld! smile

smile

09.02.2012, 15:31

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne! Was lange währt, wird endlich gut. Big Laugh

Big Laugh

mY+

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