0 =/= 1 in Körpern

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26.01.2012, 00:04	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
0 =/= 1 in Körpern Hi, man kann die Körperaxiome ja ausführlich aufschreiben, wie z.B. hier beschrieben: Körperaxiome@wiki Was mir zunächst auffällt ist, dass in der Wikipedia-Aufzählung nicht explizit 0 =/= 1 gefordert wird, während in unserem Skript (bzw. das LA-Buch von Siegfried Bosch) dies explizit als Axiom gegeben ist. Bei der "kompakten" Definition eines Körpers - siehe z.B. hier: kompakte Körperaxiome @ wiki - taucht die Bedingung allerdings auch im Bosch nicht auf. So wie es aussieht, folgt 0 =/= 1 ja direkt aus der kompakten Schreibweise. Kann es sein, dass die Bedingung in den ausführlichen Körperaxiomen im Bosch nicht nötig war und nur der Klarheit halber mit aufgeschrieben wurde (ähnlich ist es bei den Distributivgesetzen, wo das linke bzw. rechte Distributivgesetz bei Körpern eigentlich ausreicht, im Bosch aber beides verlangt wird)? Ich vermute, dass ich wie zu oft ein kleines Detail in den unterschiedlichen Definitionen übersehe. Und: Wie folgt man denn 0 =/= 1 aus den kompakten Axiomen? edit: Ich glaube ich hab's.. In Wikipedia werden die neutralen Elemente für die Addition und Multiplikation mit 0 und 1 benannt (es wird also implizit gesagt, dass 0 ungleich 1 ist), im Bosch wird das allgemein beschrieben und in einem weiteren Axiom dann 0 =/= 1 gesetzt. Falls ich mich nicht irre bedeutet das, dass man für Körper (in der einen oder anderen Form) 0 =/= 1 fordern muss, da sonst z.B. auch der Nullring {0} ein Körper wäre, oder?
26.01.2012, 00:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann zeigen, dass $\begin{eqnarray} a\cdot 0=0 \end{eqnarray}$ . Betrachte hierzu $\begin{eqnarray} a(0+0) \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} a\cdot1=a\hspace{10pt}\forall a \end{eqnarray}$ kann somit nicht 0=1 gelten.
26.01.2012, 00:29	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das funktioniert für $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ . In dem Fall würde aber - falls man $\begin{eqnarray} 0\neq 1 \end{eqnarray}$ nicht voraussetzt - eigentlich auch $\begin{eqnarray} (\{0\},+,\cdot), 0+0=0, 0\cdot 0=0 \end{eqnarray}$ ein Körper sein. Fordert man axiomatisch 0 ungleich 1 nur aus genau dem Grund?
26.01.2012, 00:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Da die 2.Forderung ist, dass $\begin{eqnarray} K\setminus\left\{0\right\} \end{eqnarray}$ eine abelsche Gruppe sein soll, haut das nicht hin. Die leere Menge ist meines Wissens nämlich keine Gruppe.
26.01.2012, 00:49	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, danke Um ganz sicher zu gehen: In der ausführlichen Schreibweise muss man aber schon die Ungleichheit der neutralen Elemente der Addition und Multiplikation fordern?! Wikipedia tut das nicht explizit (0=1 wird nicht ausgeschlossen, was aber {0} als Körper zulassen würde).
26.01.2012, 01:01	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss jetzt grad nicht, was Du meinst. Sowohl in der allgemeinen Definition, als auch der Einzelaufzählung ist doch $\begin{eqnarray} 1 \in K \setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray}$ vorausgesetzt.
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26.01.2012, 18:05	blubbel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte ich wieder übersehen, dann ist ja alles klar
27.01.2012, 10:52	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
PS: Du kannst dir mal überlegen, was für Körper es zusätzlich gäbe, wenn man 0=1 erlauben würde. Du wirst sehen, damit machst du die Körperwelten auch nicht viel größer.
27.01.2012, 11:18	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus einer Laune heraus werfe ich mal noch den Körper mit nur einem Element in die Runde. Gruß, Rubiksilat.

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