Charakteristisches Polynom und Eigenwerte bestimmen

26.01.2012, 00:21	Dayana	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom und Eigenwerte bestimmen Meine Frage: Hallo zusammen! Ich stehe vollkommen auf dem Schlauch und hoffe, ihr könnt mir helfen... Ich habe folgende Aufgabe gegeben: Sei $\begin{eqnarray} K=Z \end{eqnarray}$ . Gegeben seien $\begin{eqnarray} Z_5 \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit Basis $\begin{eqnarray} B= \begin{Bmatrix}v_1,v_2,v_3\end{Bmatrix} \end{eqnarray}$ und eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V \Rightarrow V \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f(v_1)=2v_1+4v_2+4v_3 , f(v_2)=v_1+4v_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(v_3)=3v_1+2v_2+3v_3 \end{eqnarray}$ . Jetzt soll ich das charakteristische Polynom bestimmen und zeigen, dass die Eigenwerte von f gerade 1 und 3 sind. Nur irgendwie kommen bei mir ganz komische Kommazahlen raus und ich weiß gar nicht, warum... Kann man $\begin{eqnarray} f(v_1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f(v_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(v_3) \end{eqnarray}$ nicht einfach als Matrix schreiben? Also z.B. so: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann das charakteristische Polynom ausrechnen? Also wie ich das char. Pol. berechnen muss und auch die Eigenwerte, das weiß ich alles... Aber anscheinend scheitere ich ja schon am Anfang... Es wäre total lieb, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen kann. Ich will keine Komplettlösung, nur einen kleinen Anstoß! Danke Meine Ideen: siehe oben...
26.01.2012, 00:50	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Polynom hast Du denn raus und hast Du an den Körper gedacht, der hier zugrunde gelegt wird? Ich komme auf $\begin{eqnarray} t^3-5t^2-18t-28 \end{eqnarray}$ , was allerdings noch dem Körper angepasst werden sollte.
26.01.2012, 01:16	Dayana	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das charakteristische Polynom habe ich auch so! Aber in der Aufgabe steht ja, dass man zeigen soll, dass die eigenwerte 1 und 3 sind, also kann ich für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ doch einmal 1 einsetzen und gucken, ob am Ende 0 rauskommt und das auch nochmal für $\begin{eqnarray} \lambda =3 \end{eqnarray}$ . Aber das geht nicht auf?! Oder mache ich was falsch?
26.01.2012, 09:05	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Scheinbar machst du was falsch, wie gesagt, denke immer daran, über welchem Körper gerechnet wird.
26.01.2012, 19:45	Dayana	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, ich muss die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms noch modulo 5 nehmen, dann komme ich auf das richtige Ergebnis. Vielen Dank!
26.01.2012, 19:47	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, immer mod 5 rechnen.
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27.01.2012, 01:38	Dayana	Auf diesen Beitrag antworten »
Daaaanke!

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