Urnenmodell mit unnummerierten verschiedenfarbigen Kugeln

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Funky Auf diesen Beitrag antworten »
Urnenmodell mit unnummerierten verschiedenfarbigen Kugeln
Hallo liebes Matheboard, ich habe folgendes Problem:

In einer Urne sind Kugeln verschiedener Farbe und von jeder Farbe gibt es genau gleich viele Kugeln. Gleichfarbige Kugeln sind unnummeriert, also lassen sich nicht voneinander unterscheiden. Ich möchte nun untersuchen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine, zwei, drei, .. Kugeln zu ziehen.
Also mal ein Beispiel: ich habe je zwei Kugeln in blauer (B), roter (R) und grüner (G) Farbe. Ich ziehe nun zufällig eine Kugel aus der Urne. Da die Kugeln nicht nummeriert sind, können also 3 unterschiedliche Ereignisse auftreten. Ziehe ich zwei Kugeln, so gibt es 6 Möglichkeiten (2B, 2G, 2R, 1G1B, 1G1R, 1R1B). Bei 3 Kugeln sind es 7 Möglichkeiten, bei 4 Kugeln wieder nur noch 6, usw.

Mein Ziel wäre es, dafür eine Formel in Abhängigkeit von der Anzahl der Kugeln, die ich ziehe, der Anzahl der Farben und der Anzahl der Kugeln je Farbe aufzustellen. Allerdings bin ich hierbei über's stumpfe Abzählen nicht hinaus gekommen unglücklich Wären die Kugeln nummeriert, dann wäre das ganze einfach mittels hypergeometrischer Verteilung zu lösen, aber so bin ich etwas ratlos.

Hat vielleicht jemand eine Idee?

Grüße, Funky
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zieht man Kugeln, und sind von jeder der Farben jeweils mindestens Exemplare in der Urne, dann ist die Sache einfach:

Dann entspricht das nämlich dem -fachen Ziehen aus einer Urne mit Kugeln (von jeder Farbe genau eine) mit Zurücklegen, diese Anzahl ist bekanntlich

.


Andernfalls ist die Anzahl geringer als dieser Wert, genauere Berechnungen sind über die Siebformel möglich.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

mit Zurücklegen ist das eine Multinomialverteilung. Wenn

die Liste der Farben ist und

die Liste der Trefferanzahlen ist und

die Wkt's für die Farben sind

mit und dann gilt:

René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap

Es ist eigentlich ziemlich klar, dass es Funky "ohne Zurücklegen" meint. Andernfalls würde ja die Begrenzung der Anzahl Kugeln bestimmter Farbe sinnlos sein. Augenzwinkern

Außerdem sind durch die Eigenschaft der Ununterscheidbarkeit die letztendlich betrachteten Grundereignisse (wie oben 2B oder 1G1B) nicht einander gleichwahrscheinlich, d.h., wenn man das ganze schon in den "natürlichen" Wahrscheinlichkeitsraum des k-maligen zufälligen Ziehens ohne Zurücklegen einbetten will, dann ist dieser Wahrscheinlichkeitsraum NICHT Laplacesch.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@ Rene Gruber: ohne Zurücklegen stand am Anfang.

Auch Binomialversuche werden des öfteren mit der Urne und Zurücklegen simuliert.
Für p=0.6 nimmt man dann eben 3 Rote und 2 Blaue.
Ich hab aber auch schon dasselbe mit mit 9 weissen und 6 Schwarzen ( in der Schule ) gemacht Augenzwinkern
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du damit sagen willst. Jedenfalls finde ich es nicht gut, wenn du Funky verwirrenderweise in eine falsche Richtung führst: Er hat doch sehr genau beschrieben, was und wie er es will, z.B. durch die konkreten Zahlenbeispiele:

Zitat:
Original von Funky
ich habe je zwei Kugeln in blauer (B), roter (R) und grüner (G) Farbe. Ich ziehe nun zufällig eine Kugel aus der Urne. Da die Kugeln nicht nummeriert sind, können also 3 unterschiedliche Ereignisse auftreten. Ziehe ich zwei Kugeln, so gibt es 6 Möglichkeiten (2B, 2G, 2R, 1G1B, 1G1R, 1R1B). Bei 3 Kugeln sind es 7 Möglichkeiten, bei 4 Kugeln wieder nur noch 6, usw.

Genau die Ergebnisse kommen auch raus, wenn man den von mir angedeuteten Siebformelweg geht.
 
 
Funky Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, vielen Dank für eure Beiträge! Ich meinte in der Tat ohne Zurücklegen, von daher sehe ich nicht, wie das mit der Multinomialverteilung funktionieren soll.

@Rene: Du hast Recht, wenn ich Kugeln ziehen möchte und von jeder Farbe mindestens Exemplare in der Urne sind, dann läuft das auf Kombination mit Wiederholung/Zurücklegen hinaus, also auf deine Formel.
Den anderen Fall muss ich mir nochmal anschauen, aber Siebformel klingt schonmal vielversprechend. Dankeschön smile
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Die Berechnung mit der Siebformel im Detail: Seien die gegebenen Anzahlen der Kugeln in den Farben in der Urne.

Jetzt betrachten wir wieder das obige, andere Urnenmodell "k aus n mit Zurücklegen", dabei sei die Menge aller solchen Ziehungsergebnisse, d.h. ohne jede Anzahleinschränkungen der einzelnen Farben. Oben hatte ich ja bereits die zugehörige Anzahl aller solchen Ziehungsergebnisse erwähnt.

Nun definieren wir folgende Teilmengen von :

... Ziehungsergebnisse, wo von Farbe mehr als Kugeln gezogen werden.



Was du nun berechnen willst, ist die Anzahl , denn jedes Ziehungsergebnis, welches in mindestens einem der liegt, verletzt deine Anzahlbedingung, und darf folglich nicht mitgezählt werden. Nach Siebformel gilt nun

,

womit dann die Anzahl

mit

herauskommt. Es sei nochmal betont, dass in (*) wirklich über alle Teilmengen von summiert werden muss, das beinhaltet auch die leere Menge (im Unterschied zur originalen Siebformel).


Erwähnenswert ist sicher der Spezialfall, dass alle gleich groß sind, d.h. . Dort vereinfacht sich (im Sinne der Anzahl der Summanden) Formel (*) zu





Dein Beispiel und ergibt in Formel (**) dann

,

oder für schließlich

.
Funky Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, so eine ausführliche Antwort ist weit mehr als ich erwarten konnte. Vielen Dank nochmals, allein schon der Siebformel-Tipp war Gold wert! Freude
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