Normalverteilung

27.01.2012, 09:49

ToTi

Normalverteilung

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass
a) X~N(µ, o²) so ist E(X)=µ und V(X)=o²
Sind X1,...,Xn unabhängig und Xi~N(µ,o²). Bestimme ML-Schätzer für:
b)das unbekannte µ wenn $\begin{eqnarray*} o²=o_{0}² \end{eqnarray*}$
c)das unbekannte o² wenn µ=µ0
d)für (µ, o²) wenn beide unbekannt.

Meine Ideen:
???

27.01.2012, 11:44

Math1986

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RE: Normalverteilung
a) Wie sieht denn die Dichtefunktion der Normalverteilung aus, und wie sind Erwartungswert und Varianz definiert?
Ein bisschen eigene Ansätze musst du hier schon liefern. böse

27.01.2012, 21:05

ToTi

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RE: Normalverteilung
für a)
E(X) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi o}} \int_- \infty ^\infty \! x^{\frac{(x-y)^{2} }{2o^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \frac{Xi-\vec{x} }{o} \end{eqnarray*}$ ~ N(0,(1-1/n)

27.01.2012, 23:29

Math1986

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RE: Normalverteilung

Zitat:

Original von ToTi
für a)
E(X) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi o}} \int_- \infty ^\infty \! x^{\frac{(x-y)^{2} }{2o^{2} } } \, dx \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \frac{Xi-\vec{x} }{o} \end{eqnarray*}$ ~ N(0,(1-1/n)

Das stimmt so vorne und hinten nicht!
Schlag die Definiton der Dichtefunktion nochmal nach, und bemühe dich auch darum, diese ordentlich darzustellen:
$\begin{eqnarray*} \int_{- \infty} ^\infty \end{eqnarray*}$
Aber auch davon abgesehen stimmt die Dichtefunktion so nicht.

Wie sind Erwartungswert und Varianz nun definiert?
Fang schonmal an, das zu berechnen, dann helfe ich dir weiter.

28.01.2012, 11:50

ToTi

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RE: Normalverteilung
Den Beweis hatte ich aus einem alten Skript...
Dichtefunktion ist:
$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b)=\int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

E(X) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_a^b \! x e^{\frac{-x^{2} }{2 } } \, dx \end{eqnarray*}$ = 0
=> E(Y)= E(oX+µ)=µ, da E(X) = 0

28.01.2012, 12:10

Math1986

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RE: Normalverteilung

Zitat:

Original von ToTi
Den Beweis hatte ich aus einem alten Skript...
Dichtefunktion ist:
$\begin{eqnarray*} P(a\leq X\leq b)=\int_a^b \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

E(X) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_a^b \! x e^{\frac{-x^{2} }{2 } } \, dx \end{eqnarray*}$ = 0
=> E(Y)= E(oX+µ)=µ, da E(X) = 0

Naja, irgendwie habe ich das Gefühl, dass du das einfach nur übernommen hast, ohne es zu verstehen unglücklich

Du schmeißt hier ziemlich wild mit Variablen a,b um dich, und unterscheidest nucht sauber zwischen den Begrifflichkeiten.

Also: Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ist allgemein gegeben durch
$\begin{eqnarray*} \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} e^{\frac{-x^2}{2}} \end{eqnarray*}$
Den Erwartungswert der Standardnormalverteilung erhält man nun durch Integration über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (die Grenzen sind also $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ):
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty}^\infty x\cdot\varphi\left(x\right)\, dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \! x\cdot e^{\frac{-x^2}{2}} \, dx = \ldots = 0 \end{eqnarray*}$
(hier kann man über die Punktsymmetrie des Integranten argumentieren)

Nun kann man so wie du über die Linearität des Erwartungswertes argumentieren:
$\begin{eqnarray*} E\left(Y\right)= E\left(\sigma X+\mu\right)=\sigma E\left(X\right)+\mu=\mu \end{eqnarray*}$

Die Varianz berechnest du nun selbst, und versuch auch, es einigermaßen konsistent und verständlich aufzuschreiben.

28.01.2012, 12:54

ToTi

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RE: Normalverteilung
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 2\pi }o} \int_\infty ^\infty \! (x-y)^2 e^{-\frac{1}{2} \frac{(x-y)}{o} } \, dx t=\frac{x-y}{o} o^2\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_\infty ^\infty \! t e^{-\frac{1}{2} t^2 } \, dt u=\frac{1}{2} t^2 o^2\frac{1}{\sqrt{ 2\pi }} \int_0 ^\infty \! \sqrt{u} e^{-u } \, du=o^2 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} \int_0 ^\infty \! \sqrt{u} e^{-u } \, du=\frac{\sqrt{\pi} }{2} \end{eqnarray*}$

Passt das so? Habe versucht die Vorgehensweise vom ERwartungswert zu nehmen und dann das Integral verändert.

28.01.2012, 13:22

ToTi

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RE: Normalverteilung
für b) gilt ja der Gaußtest oder?

28.01.2012, 14:49

Math1986

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RE: Normalverteilung

Zitat:

Original von ToTi
Passt das so? Habe versucht die Vorgehensweise vom ERwartungswert zu nehmen und dann das Integral verändert.

Du hast eine sehr verwirrende Notation unglücklich

Bei dir ist wohl $\begin{eqnarray*} y=\mu \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} o=\sigma \end{eqnarray*}$
Vom Prinzip her sieht das aber gut aus, die Substtution ist richtig.

28.01.2012, 14:50

Math1986

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RE: Normalverteilung

Zitat:

Original von ToTi
für b) gilt ja der Gaußtest oder?

Ja.

28.01.2012, 15:03

ToTi

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RE: Normalverteilung
der nimmt die Symbole nicht an, ich weiß auch nicht warum...

b) $\begin{eqnarray*} T(x_{1},...,x_{n})=\frac{\vec{x}-y_{0} }{\sqrt{\frac{o_{0} ^2}{n}} } \end{eqnarray*}$
für N(µ, $\begin{eqnarray*} o_{0} ^2 \end{eqnarray*}$ )

d) $\begin{eqnarray*} T(x_{1},...,x_{n})=\frac{\vec{x}-y_{0} }{\sqrt{\frac{s_{n} ^2}{n}} } \end{eqnarray*}$

28.01.2012, 19:25

Math1986

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RE: Normalverteilung
Ja, das sieht gut aus. Freude

Die Symbole sind \mu und \sigma.

29.01.2012, 12:45

ToTi

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RE: Normalverteilung
Mir fehlt irgendwie der Ansatz... Der ML-Schätzer von $\begin{eqnarray*} \mu, \sigma^2 \end{eqnarray*}$ sind doch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_{i} \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n (x - \mu )^2 \end{eqnarray*}$

29.01.2012, 12:53

Math1986

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RE: Normalverteilung
Ja, aber ab hier bin ich auch nicht mehr in meinem Gebiet, es wäre gut, wenn hier jemand anderes einspringen würde smile

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