Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen

28.01.2012, 00:56	Speetzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen Meine Frage: Man betrachte die durch F:M( $\begin{eqnarray} (2\times 2 \mathbb R ))\Rightarrow M(2\times 2 \mathbb R ), A\Rightarrow A\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ definierte Abbildung. a) Zeigen sie das F eine lineare Abbildung ist b) Sei A= $\begin{eqnarray} E11= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} <br /> E12= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> E21= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} <br /> E22= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die Standard Basis für M (2x2 $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ). Schreiben sie die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} \left[M\right]_{A}^{A} \end{eqnarray}$ (F) Meine Ideen: Zu a) Ich kenne die Voraussetzungen für eine lineare Abbildung nur weiß ich nicht wie ich diese Voraussetzung anwenden soll. Zu b) Ich weiß das ich die Basisvektoren mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multiplizieren muss. Mir ist auch klar das die Darstellungmatrix eine 2x2 Matrix sein muss. Nur weiß ich nicht welche Basen ich multiplizieren soll. Gruß Speetzi
28.01.2012, 10:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
zu a) Zeige $\begin{eqnarray} (A+B)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=A\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+B\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\lambda A) \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=\lambda (A\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ zu b) Du hast eine Basis $\begin{eqnarray} \{E11,E12,E21,E22\} \end{eqnarray}$ des 4-dimensionalen Vektorraumes. F bildet diese Basis auf $\begin{eqnarray} \{F(E11),F(E12),F(E21),F(E22)\} \end{eqnarray}$ ab. In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen genau diese Bilder, dargestellt als Koeffizienten in der Basis. Mir ist klar, dass das eine 4x4 Matrix sein muss.
29.01.2012, 14:48	Speetzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also beim Teil a) habe ich jetzt folgende Lösung. Ich habe mir überlegt das ich die Matrix in 2 Gleichungen schreiben kann. Dann habe ich die folgenden Gleichungen: x+2y und 3x+4y Dann habe ich im ersten Schritt: 1( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1x1+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2 x2)+2( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 y1+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2 y2)+3( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 x1+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2 x2)+4( $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 y1+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2 y2) und nach umformen komm ich auf $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1(x1+2y1, 3x1+4y1)+ $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2(x1+2y1, 3x1+4y1) Habe ich da den richtigen Weg gewählt? Ich habe nämlich beide Bedigungen auf einmal nachgewiesen. Gruß Speetzi
29.01.2012, 18:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
x+2y ist ein Term und keine Gleichung. Wenn du mit solchem Unsinn anfängst, wird das nie was. Die nachzuweisenden Gleichungen habe ich dir aufgeschrieben. Weise sie nach, und denke darüber nach, so dass du begründen kannst, warum das äquivalent zur Linearität von F ist. Kurz und gut: du musst mehr tun, nicht weniger.

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