Faktorringe

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Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorringe
Ich soll bei folgenden endlichen Faktorringen

a) alle Elemente auflisten und die Multiplikationstafel angeben.

b) Zudem sollen die Einheitengruppen bestimmt werden

c) und die Frage beantwortet werden, welche der Faktorringe ein Körper ist.





Zu Teilaufgabe c) kann ich sagen, dass der Faktorring zumindest dann ein Körper ist, wenn R ein nichttrivialer kommutativer Ring mit 1 + Existenz des multiplikativen Inversen ist. Aber wie zeige ich das?

Und wie gehe ich a) und b) an?

Für Ideen/Hilfen wäre ich überaus dankbar!
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich betrachte zunächst .

Der Ring der Gaußschen Zahlen ist ja ein Teilbereich der komplexen Zahlen: . Also ist dieser ein Integritätsbereich und damit ein Körper!
Ich weiß, dass Einheiten im Ring der Gaußschen Zahlen
sind. Das sind sie aber vorliegend wohl nicht, durch die Einschränkung? Wie komme ich also auf die Einheitengrppen?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem anderen Fall würde ich folgendermaßen argumentieren:


Einheiten sind in Z_n gerade die primen Restklassen mod n. Hier also mod 2. Das angegebene Polynom ist ja gerade das einzige irreduzible Polynom vom Grad. Was kann ich damit also anfangen?

Z_n ist ein Körper, denn n ist ist eine Primzahl (2) und Z_2 besitzt keine Nullteiler.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Ring der Gaußschen Zahlen ist ja ein Teilbereich der komplexen Zahlen: . Also ist dieser ein Integritätsbereich und damit ein Körper!

Das ist falsch. Und zwar fürchterlich.
Du widerlegst dich danach auch selbst. Für einen Körper K gilt: ,
hingegen ist wie du sagst

Befasse dich doch erstmal mit a). Wie ist so ein Quotient definiert, was sind also die Ringelemente?
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ein Quotient ist folgendermaßen definiert:

Addition und Multiplikation werden beibehalten und jedes Element, außer 0, besitzt ein multiplikatives Inverses. Die Elemente darin haben die Form a/b mit a,b in R und b ungleich 0.

Ist dann der Quotient vom Ring der Gaußschen Zahlen die komplexe Zahlenebene? Also ich meine: Die Elemente sind ja

galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige meine evtl. etwas zu ungenaue Ausdrucksweise: Mit Quotient eines Ringes meine ich natürlich einen Faktorring (das ist ja auch das was hier zu betrachten ist.)

Deine Def. zielt auf den Quotientenkörper ab. Und ist nicht der Quotientenkörper von (wie willst du denn z.B darstellen?)
 
 
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut,also neuer Versuch:

Ein Restklassenring/Faktorring wird in meinem Skript wie folgt def.:
Es sei I ein Ideal im Ring R mit 1. Dann bildet die Menge der Rechtnebenklassen R/I zusammen mit den Verknüpfungen


einen Ring mit 1 I+1.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und jetzt geht´s darum die Elemente des Faktorrings zu bestimmen...
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Vlt bin ich mal wieder auf den Kopf gefallen, aber wie mache ich das?

Weil es ja Z_2 ist, würde ich schon mal sagen, dass Elemente 0 und 1 dabei sind.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die sind schonmal dabei. Insgesamt hat der Faktorring 4 Elemente.

Überlege dir mal welche Polynome in die selbe Äquivalenzklasse fallen. Und warum es darum genügt Polynome bis zu einem bestimmten Grad zu betrachten.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du so fragst:

Als Polynome kommen ja dann nur x und x+1 in Betracht, da die kleineren Grades als f(x) sind. Und damit hätte ich 4 Elemente.

Wie würde ich das denn z.B. bei folgender Konstellation machen:
. Besteht dieser Faktoring aus 2 Elementen? Nämlich x und x+1 ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mi9t f(x) meinst, dann ja.

Und zum weiteren: nein. Auch dieser Faktorring hat 4 Elemente, nach exakt der selben Argumentation wie grade eben.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Also hat Z_i/(x^2+1) 4 Elemente:

0, 1, x und x+1 ?

(x+1)(x+1) = x^2 + 1 = 0 z.B.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

zu b) Einheitengruppen angeben:

Wären denn im Fall die Einheiten:

(1,1); (x,x+1); (x+1,x) ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Einheiten sind Elemente des (Faktor)Rings. Die angegebenen Tupel liegen nicht in l

Zitat:
Also hat Z_i/(x^2+1) 4 Elemente: 0, 1, x und x+1 ? (x+1)(x+1) = x^2 + 1 = 0 z.B.

Was ist denn hier ? Ich kenne diese Bezeichnung nicht. Im Post vorher nennst du , davor
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry!
ich hab mich vertippt.
Richtig heißt es:
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Dann passts.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie ist das mit den Einheiten gemeint?
Was sind für den letzten Faktorring die Einheiten?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Bestimme doch erstmal hierfür die richtigen Einheiten.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

Sind es die Elemente 1 und x+1 ?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch ein Element. Und ich entschwinde jetzt für ein paar Stunden.
Quad84 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, es sind:

1
x
x+1

die Einheiten.

Vielen lieben Dank für deine großartige Hilfe!!!!!
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