Linearität zeigen

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30.01.2012, 10:31	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearität zeigen Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Problem : $\begin{eqnarray} f : \mathbb R ^{2} \Rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \\ 3x_1 - x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Im Prinzip weiß ich, dass ich folgendes anzusetzen habe, aber nicht wie ich es umsetzen soll. Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(\lambda x) = \lambda f(x) \end{eqnarray}$ Bin für jede Hilfe sehr dankbar
30.01.2012, 10:34	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst einmal sollte dazu gesagt werden, wo deine $\begin{eqnarray} x,y,\lambda \end{eqnarray}$ herkommen sollen. $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Dann fang doch mal an, nimm dir ein Element $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und ein Element $\begin{eqnarray} y\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und bilde die Summe $\begin{eqnarray} x+y \end{eqnarray}$ , wie sieht dann der Funktionswert von $\begin{eqnarray} x+y \end{eqnarray}$ aus?
30.01.2012, 10:49	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz ehrlich ich hab keine Ahnung, ich habe dazu noch nie ein Beispiel gesehen. Was soll ich denn jetzt wo einsetzen ?
30.01.2012, 10:55	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Beispiele gibt es zur Genüge im Internet, und ich vermute, dass ihr auch in der Vorlesung ein Beispiel dazu hattet, aber seis drum. Man nehme sich ein Element $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ und ein Element $\begin{eqnarray} y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \in\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Wie sieht dann die Summe $\begin{eqnarray} x+y \end{eqnarray}$ aus?
30.01.2012, 11:00	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so wenn mich nicht alles täuscht
30.01.2012, 11:02	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist damit dann $\begin{eqnarray} f(x+y) \end{eqnarray}$ ?
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30.01.2012, 11:10	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f( x + y ) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1\\ x_2 + y_2 \end{pmatrix} = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$
30.01.2012, 11:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist Quatsch. Wende die Funktionsvorschrift auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2 + y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ an.
30.01.2012, 11:20	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \\ 3x_1 - x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ soll ich hier jetzt für x_2 x_1 + y_1 einsetzen usw ? .. ich glaub ich weiß einfach nicht was ich hier mache
30.01.2012, 11:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht für $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ , nein. Was macht die Abbildung? Sie schickt einen 2x1-Vektor auf einen 3x1-Vektor, wo kommt dabei welcher Eintrag hin? Der zweite Eintrag des Ausgangsvektors taucht im ersten Eintrag des Bildvektors auf, der erste Eintrag des Ausgangsvektors kommt in den zweiten Eintrag des Bildvektors, und der dritte Eintrasg des Bildvektors besteht aus einer Kombination der Einträge des Ausgangsvektors. Wie sehen nun bei $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2+y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jeweils der erste und der zweite Eintrag aus? Wo kommen die im Bildvektor hin? Wie sieht dann der Bildvektor aus?
30.01.2012, 15:43	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok neuer Versuch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_2 + y_2 \\ x_1 + y_1 \\ 3\cdot (x_1 + y_1) - x_2 - y_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.01.2012, 18:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
So siehts doch schon besser aus. Du kannst jetzt noch im dritten Eintrag zusammenfassen. Danach solltest du $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ berechnen.
30.01.2012, 19:01	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe dann müsste es so sein : $\begin{eqnarray} f(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} ) + f(\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} ) = f(x_{1}, x_{2}) + f(y_{1}, y_{2}) = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_1 \\ 3x_{1} - x_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_2 \\ y_1 \\ 3y_{1} - y_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
30.01.2012, 19:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, jetzt kannst du vergleichen, ob $\begin{eqnarray} f(x+y)=f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ gilt.
30.01.2012, 19:07	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
joa das sehe ich ^^ nur noch komponentenweise addieren, dann sieht man, dass es dasselbe ist ... und das reicht jetzt schon ? muss ich das mit der multiplikation nicht mehr zeigen ? Falls doch müsste ich auch wieder einen beliebigen vektor aus R² wählen und analog verfahren ?
30.01.2012, 19:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, für die erste Eigenschaft reicht das. Damit die Linearität nachgewiesen wird, muss jetzt noch die zweite Eigenschaft nachgewiesen werden, das Vorgehen hast du ja schon genannt.
30.01.2012, 19:38	snaggy	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(\lambda v) = \lambda f(v) \end{eqnarray}$ Suche einen Vektor des $\begin{eqnarray} \mathbb \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ Ich nenne ihn mal $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\end{pmatrix} <br /> f(\lambda a) = f(\begin{pmatrix} \lambda a_1 \\ \lambda a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_2 \\ \lambda a_1 \\ \lambda 3a_1-\lambda a_2 \end{pmatrix} <br /> <br /> \lambda f(a) = \lambda f(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} a_2 \\ a_1 \\ 3a_1-a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kann man das so machen ? nochmal vielen danke für deine Hilfe echt super nett dass du sir so viel zeit nimmst
30.01.2012, 20:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du suchst dir keinen Vektor, du nimmst dir einfach einen. Ansonsten stimmt das soweit, ja.

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