Lemma von Zorn - Verständnis

31.01.2012, 10:58

blubbel

Lemma von Zorn - Verständnis

Hallo,

Das Lemma von Zorn besagt:
Sei X eine teilgeordnete, nichtleere Menge, sodass jede Kette in X eine untere Schranke hat. Dann hat X ein minimales Element.
(dabei ist eine Kette eine Teilmenge, die vollständig geordnet ist, d.h. es gilt für a,b € X immer entweder a <= b oder b <= a)

Hier unsere Definitionen von unterer Schranke und minimalem Element. Sei dafür A eine teilgeordnete Menge mit <=.
- b ist eine untere Schranke von A, falls für alle a € A gilt: b <= a (wichtig: b muss nicht unbedingt in A sein)
- a € A ist ein minimales Element von A, falls kein b € A existiert, sodass b < a ist.

Damit könnte man sagen, dass ein minimales Element eine untere Schranke ist, die zusätzlich in A liegt. Soll bedeuten: Jedes minimale Element ist eine untere Schranke, aber nicht jede untere Schranke ist ein minimales Element. (da die Schranke nicht in A liegen muss)

Hier mein Problem: Was ist, wenn man z.B. mit der üblichen Ordnung <= auf die rationalen Zahlen die Menge betrachtet, die wie folgt aussieht:
$\begin{eqnarray*} M = \{\frac{1}{a}|a\in \mathbb{N}\} \end{eqnarray*}$
Geordnet sieht M dann so aus (von groß nach klein): $\begin{eqnarray*} M'=\left (1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\right) \end{eqnarray*}$

Dann ist z. B. 0 eine untere Schranke (sogar ein Infinum).
M ist insbesondere teilgeordnet und jede Teilmenge von M hat eine untere Schranke (z.B. die 0). Nach dem Lemma von Zorn müsste M also ein minimales Element haben. Aber welches? Man kann kein Element a € M nennen, für das a <= b für alle b € M gilt.

Kurzversion: Kann man für obige Menge M das Lemma von Zorn anwenden? Falls ja, was ist das minimale Element von M? Falls nein, warum nicht?

Wo ist der Fehler?

31.01.2012, 11:12

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lemma von Zorn - Verständnis
Das Lemma von Zorn ist viel eher ein Axiom (Auswahlaxiom) als ein Lemma. Ein Beweis des Lemmas dürfte schwer sein, man kann zeigen, dass es äquivalent ist zum Auswahlaxiom und sicherlich eine der am häufigsten verwendeten Varianten dieses.

Eine konkrete Angabe des kleinsten Elementes ist bei unendlcihen Mengen schwer möglich, es ist auch eine recht "starke" Aussage, bereits aus der Existenz einer unteren Schranke und der Halbordnung die Existenz eines Minimus zu fordern.

31.01.2012, 11:19

blubbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, soll das bedeuten, dass M tatsächlich ein minimales Element hat?
Ich hatte auf einen Fehler bei meiner Überlegung gehofft. =O

Vor allem kann man doch die Nichtexistenz eines minimalen Elements in M leicht widerlegen, z.B:
Sei m € M ein minimales Element in M. Dann gibt es n € IN, sodass m = 1/n. Es existiert dann aber auch n+1 € IN, also gibt es auch 1/(n+1) € M, wobei gilt: 1/(n+1) <= 1/n. Und das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass m ein kleinstes Element in M ist.

31.01.2012, 11:25

galoisseinbruder

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie du schon richtig erkannt hast hat diene Menge M kein minimales Element.

Zorn kann nicht angewendet werden,

Zitat:

(da die Schranke [zwar] nicht in A liegen muss)

aber sie muss in M liegen und das tut 0 nicht. D.h. es gibt totalgeordnete Teilmengen von M, nämlich alle mit unendlich vielen Elementen, die in M keine untere Schranke haben.

31.01.2012, 11:28

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deine Menge hat kein minimales Element, da die größte untere Schranke kein Element der Menge ist.
Es muss jede nichtleere halbgeordnete Teilmenge eine untere Schranke in M besitzen.

31.01.2012, 11:31

blubbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wo wird das* denn gefordert? Im Lemma von Zorn? Oder bei der Definition von unterer Schranke? Ich kann dies bei keinem finden, weder in unserem Skript, noch auf Wikipedia.

*die Tatsache, dass die größte untere Schranke (=Infinum?!) in M liegen muss

edit: Ich verstehe, mit "jede Kette hat eine untere Schranke" meint man, dass die untere Schranke auch in der Kette enthalten sein muss? Dann würde alles natürlich Sinn machen. Ich finde die Formulierung aber mehr als implizit.. unglücklich

Untere Schranke "haben" bedeutet für mich nur, dass es eine untere Schranke "gibt" (wie es z.B. die ganzen Zahlen nicht haben).

edit2: Ich sehe gerade auf der ausgeführten Definition in Wikipedia, dass dies gefordert wird: "Für diese speziellen Teilmengen (und nur für diese) wird nun zusätzlich gefordert, dass sie eine obere Schranke in P besitzen müssen."

Vielen Dank fürs Aufklären! smile

31.01.2012, 11:34

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Lemma von Zorn fordert:

1. M ist Halbordnung

2. Jede nichtleere halbgeorndete Teilmenge A von M besitzt ein kleinstes Element in M (dieses muss nicht in A liegen, aber in M)

31.01.2012, 11:36

blubbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, genau dieses wichtige Detail, dass die unteren Schranken der Ketten in M liegen müssen, fehlt leider in unserem Skript.

Vielen Dank nochmal für die vor allem auch sehr schnellen Antworten smile

31.01.2012, 13:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ lgrizu

Bei 2. sind vollständig geordnete Teilmengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

@ blubbel

Ich verstehe dein Problem nicht ganz. In der von dir anfangs zitierten Definition ist doch von Ketten in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Rede. Eine untere Schranke einer solchen Kette kann doch nur in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegen. Wo sonst?

Und in deinem Beispiel heißt $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ jetzt $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

31.01.2012, 19:40

blubbel

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz:
Sei X eine teilgeordnete, nichtleere Menge, sodass jede Kette in X eine untere Schranke hat. Dann hat X ein minimales Element.

Wie ich ihn gelesen/verstanden hatte:
Sei X eine teilgeordnete, nichtleere Menge, sodass jede Kette, die in X liegt, eine untere Schranke hat. Dann hat X ein minimales Element.

Wie er wohl gemeint ist:
Sei X eine teilgeordnete, nichtleere Menge, sodass jede Kette eine untere Schranke in X hat. Dann hat X ein minimales Element.

Das hätte man eindeutiger formulieren können finde ich :/ Natürlich macht es wenig Sinn von Ketten zu sprechen, die nicht in X liegen. Aber wenn ich den obersten Satz lese, klingt es immer noch so, als ob das "in X" sich auf die Ketten bezieht, und nicht auf deren untere Schranken.

Aber sei's drum, jetzt ist ja alles geklärt smile

Neue Frage »

Antworten »

Lemma von Zorn - Verständnis

Verwandte Themen