Körpererweiterung

31.01.2012, 19:33

marshal

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Körpererweiterung

Meine Frage:
Ich hab hier folgende Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} f = X^4 + X + 1 \in Z_2[X] \end{eqnarray*}$ , und sei a eine Nullstelle von f in einem Erweiterungskörper K von $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie die Ordnung von a in der multiplikativen Gruppe K* von K.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist: wenn der Erweiterungskörper endlich ist, dann ist seine Ordnung $\begin{eqnarray*} p^n \end{eqnarray*}$ und seine multiplikative Gruppe K* zyklisch. a wäre dann irgendeine Potenz des Erzeugers (welche?) dieser zyklischen Gruppe und müsste ausserdem die Ordnung von K* ( $\begin{eqnarray*} =p^n-1 \end{eqnarray*}$ ) teilen. Und dann komm ich nicht weiter.

31.01.2012, 20:25

grübeldrache

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Meinst du mit $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \ ? \end{eqnarray*}$
Ich vermute: ja.

Klar, in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibts keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} f(0)=f(1)=1 \end{eqnarray*}$ .
Also liegt die Nullstelle in einem endlichen Erweiterungskörper. Dass sie in einem endlichen Erweiterungskörper liegt, bedarf einer kurzen Begründung.
Als nächstes solltest du den Erweiterungskörper explizit bestimmen, dann kannst du die Ordnung der Nullstelle darin einfacher ausrechnen.

Ciao,
grübeldrache

31.01.2012, 20:58

marshal

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Ich glaube, man kann den Erweiterungskörper nicht einfach so explizit bestimmen, denn er ist nicht eindeutig. $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ mit der Nullstelle a=3 oder $\begin{eqnarray*} Z_9 \end{eqnarray*}$ mit der Nullstelle a=4 wären schon 2 mögliche Alternativen. Ich glaub man muss die Ordnung der Nullstelle in Abhängigkeit vom Erweiterungskörper darstellen. Wenn ich nur wüsste wie es geht...

Und der Erweiterungskörper muss glaube ich nicht unbedingt endlich sein, das wär meine 2. Frage wie man in diesem Fall argumentieren soll.

01.02.2012, 20:12

galoisseinbruder

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Zitat:

. $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$ mit der Nullstelle a=3 oder $\begin{eqnarray*} Z_9 \end{eqnarray*}$ mit der Nullstelle a=4 wären schon 2 mögliche Alternativen.

Nein sind sie nicht.
$\begin{eqnarray*} Z_9 = \mathbb Z /9 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ (falls das gemeint ist, falls nicht was solls sein?) ist nicht mal ein Körper.
Was weißt du über Charakteristik?

01.02.2012, 20:40

marshal

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Ja das hab ich schon gemerkt.

Man könnte noch versuchen einen erweiterungskörper mit hilfe des Polynomrings, zu konstruieren. $\begin{eqnarray*} K(a) = Z_2 / (X^4+X+1) \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Grad der körpererweiterung 4 (die erweiterung ist algebraisch und f ist das minimalpolynom) und der neu entstandene körper besteht dann aus 16 linearkombinationen mit den Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ und der Basis $\begin{eqnarray*} {1,a,a^2,a^3} \end{eqnarray*}$ . Das wär dann der kleinste körper der $\begin{eqnarray*} Z_2 \end{eqnarray*}$ und a enthält. Aber wie hilft mit das die Ordnung von a zu bestimmen.

Wie mir da die charakteristik helfen soll, verstehe ich nicht. verwirrt

verwirrt

01.02.2012, 20:47

galoisseinbruder

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Zitat:

Wie mir da die charakteristik helfen soll, verstehe ich nicht.

Nach deinem letzten Post ging ich noch davon aus dass du nicht weißt dass der Erweiterungskörper ebenfalls Charakteristik 2 haben muss.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} K(a) = Z_2\color{red}[X] \color{black} / (X^4+X+1) \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Grad der körpererweiterung 4 (die erweiterung ist algebraisch und f ist das minimalpolynom)

Nur falls das Polynom irreduzibel ist. Ist es das?

Zitat:

Aber wie hilft mit das die Ordnung von a zu bestimmen.

Verfolge deine ursprüngliche Idee für K(a).

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01.02.2012, 21:07

marshal

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Das Polynom ist irreduzibel in Z_2 !

01.02.2012, 21:11

galoisseinbruder

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Dann wie gesagt, bestimme die Ordnung von $\begin{eqnarray*} \alpha \in K(a)^* \end{eqnarray*}$

01.02.2012, 21:26

marshal

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Ich weiß nicht wie man sie genau bestimmt, ich weiß nur dass jede multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers die Ordnung $\begin{eqnarray*} p^r-1 \end{eqnarray*}$ , (wobei p eine Primzahl und r irgend eine natürliche Zahl ist), in meinem Fall 15, dass sie zyklisch ist, und dass die ordnung von a die ordnung von $\begin{eqnarray*} K^* \end{eqnarray*}$ teilen muss. Welche rolle da das Polynom spielt, darauf komm ich momentan nicht!

01.02.2012, 21:30

galoisseinbruder

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Es ist $\begin{eqnarray*} \alpha ^{15}=1 \end{eqnarray*}$ . Mit dem Polynom kann man zeigen, dass die ordnung tatsächlich 15 ist.

01.02.2012, 21:57

marshal

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Ja, aber das ist nur dann der fall wenn $\begin{eqnarray*} \alpha = a \end{eqnarray*}$ gilt. $\begin{eqnarray*} x^4+x+1 \end{eqnarray*}$ zerfällt aber in $\begin{eqnarray*} K(a) \end{eqnarray*}$ in linearfaktoren, hat also 4 Nullstellen, es könnte also sein dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ irgendeine Potenz von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist. Oder irre ich mich da?

01.02.2012, 22:04

galoisseinbruder

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Mein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist dein a.

01.02.2012, 22:19

marshal

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ja ok, man weiß dass alle Elemente eines endlichen Körpers der Ordnung $\begin{eqnarray*} p^r \end{eqnarray*}$ Nullstellen des Polynoms $\begin{eqnarray*} x^{p^{r}}-x \end{eqnarray*}$ sind. Da die Multiplikative Gruppe die Null nicht enthält könne wir durch x teilen. Man erhält $\begin{eqnarray*} x^{15}=1 \end{eqnarray*}$ . Das heißßt alle anderen Nullstellen (unteranderem auch a müssen diese Bedingung erfüllen). und Jedes Element, das diese Bedingung erfüllt hat die Ordnung 15. Hab ich das jetzt richtig verstanden? kann man so argumentieren?

01.02.2012, 22:22

galoisseinbruder

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Aus $\begin{eqnarray*} x^{15}=1 \end{eqnarray*}$ folgt nicht $\begin{eqnarray*} ord(x)=15 \end{eqnarray*}$ sondern...

01.02.2012, 22:34

marshal

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Stimmt daraus folgt, dass ord(x) die Zahl 15 teilt, aber dann sind wir wieder beim alten problem und zwar dass a eventuell eine andere ordnung hat als 15.

01.02.2012, 22:37

galoisseinbruder

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Welche sind möglich?
Diese kannst du aussschließen da $\begin{eqnarray*} \alpha ^4+\alpha =1 \end{eqnarray*}$ .

01.02.2012, 22:47

marshal

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aaaaaaah ok, danke schöööön.

02.02.2012, 16:18

marshal

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Ich muss noch alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^4+x+1 \end{eqnarray*}$ in K(a) berechnen uns sie als Potenzen von der Nullstelle a darstellen. Die Potenzen von a hab ich alle berechnet. Was die Nullstellen angeht, hab ich das jetzt so gemacht: die erste Nullstelle a ist gegeben, die zweite (1+a) hab ich durch ausprobieren rausgefunden. Danach 2 mal Polynomdivision gemacht, hab danach am Polynom die dritte nullstelle wieder ganz gut erkennen können. dann wieder eine Polynom division und fertig:

Das ergebnis war: $\begin{eqnarray*} a=a^1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a+1 = a^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a^2=a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a^2+1 = a^8 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist meine frage, Neben dem vielen Rechnen, musste ich in meinem Lösungsweg auch vieles durch scharfes Hinsehen erkennen. Gibt es vielleicht eine elegantere Methode, um die Nullstellen zu berechnen?

02.02.2012, 16:36

galoisseinbruder

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Zitat:

Neben dem vielen Rechnen, musste ich in meinem Lösungsweg auch vieles durch scharfes Hinsehen erkennen.

Scharfes Hinsehen ist eine vollkommen legitime Methode.

Zitat:

vielleicht eine elegantere Methode, um die Nullstellen zu berechnen?

Man könnte die Ferrari-Formeln anwenden, ist aber meines Erachtens nicht wirklich elegant. Eine andere Methode ist mir nicht bekannt

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