Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

31.01.2012, 19:42

Juppie

Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Hallöchen,

ich habe vor allem für den ersten Teil eine Lösung, die ich mal vorstelle, bitte mal drüber schauen:

Aufgabe:

Wir definieren für zwei natürliche Zahlen
$\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N: aRb \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \end{eqnarray*}$
Zeige, dass R eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ definiert und berechne die Äquivalenzklasse der Zahl 36.

Lösung:

reflexiv:

$\begin{eqnarray*} aRa : \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=a^s mit r=s \Leftrightarrow a=a \end{eqnarray*}$

symmetrisch:

$\begin{eqnarray*} aRb : \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Rightarrow \exists r=s', s=r' \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Leftrightarrow a^{s'}=b^{r'} \Leftrightarrow b^{r'}=a^s{'} \Leftrightarrow bRa \end{eqnarray*}$

transitiv:

$\begin{eqnarray*} aRb \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Leftrightarrow \sqrt[s]{a^{r}} =b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bRc \Leftrightarrow \exists r',s' \in \mathbb Z >0 : b^{r'}=c^{s'} \end{eqnarray*}$
b einsetzen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[s]{a^{r}} ^{r'} = c^{s'} \end{eqnarray*}$
Sei r'=r und s'=s $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[s]{a^{r}} = \sqrt[r]{c^{s}} \Leftrightarrow(a^r)^r=(c^s)^s\Leftrightarrow a^{r^2}=c^{s^2} \Rightarrow \exists r''=r^2, s''=s^2 \in \mathbb Z >0: a^{r''}=c^{s''} \Leftrightarrow aRc \end{eqnarray*}$

Äquivalenzklasse von 36:

$\begin{eqnarray*} 36Ra:\Leftrightarrow \exists r,s \in Z >0: 36^r=a^s\Leftrightarrow 36=\sqrt[r]{a^s} \Rightarrow [36]:=\left\{\sqrt[r]{a^s}| r,s \in \mathbb Z >0, a \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt die Aufgabe??
LG

Juppie

31.01.2012, 21:40

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Zitat:

Original von Juppie
Lösung:

reflexiv:

$\begin{eqnarray*} aRa : \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=a^s mit r=s \Leftrightarrow a=a \end{eqnarray*}$

Das ist richtig.
Man könnte hier aber auch gleich $\begin{eqnarray*} r=s=1 \end{eqnarray*}$ wählen und so argumentieren.

Zitat:

Original von Juppie
symmetrisch:

$\begin{eqnarray*} aRb : \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Rightarrow \exists r=s', s=r' \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Leftrightarrow a^{s'}=b^{r'} \Leftrightarrow b^{r'}=a^s{'} \Leftrightarrow bRa \end{eqnarray*}$

Auch das ist richtig, aber auch etwas kompliziert formuliert.

Man könnte auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} aRb : \Rightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Rightarrow b^s = a^r \Rightarrow bRa \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Juppie
transitiv:

$\begin{eqnarray*} aRb \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \Leftrightarrow \sqrt[s]{a^{r}} =b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bRc \Leftrightarrow \exists r',s' \in \mathbb Z >0 : b^{r'}=c^{s'} \end{eqnarray*}$
b einsetzen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[s]{a^{r}} ^{r'} = c^{s'} \end{eqnarray*}$
Sei r'=r und s'=s $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt[s]{a^{r}} = \sqrt[r]{c^{s}} \Leftrightarrow(a^r)^r=(c^s)^s\Leftrightarrow a^{r^2}=c^{s^2} \Rightarrow \exists r''=r^2, s''=s^2 \in \mathbb Z >0: a^{r''}=c^{s''} \Leftrightarrow aRc \end{eqnarray*}$

Hier ist Sei r'=r und s'=s so nicht richtig, im Allgemeinen kannst du nicht annehmen, dass diese gleich sind.
Du musst da wirklich nochmal mit verschiedenen Zahlen rechnen

Zitat:

Original von Juppie
Äquivalenzklasse von 36:

$\begin{eqnarray*} 36Ra:\Leftrightarrow \exists r,s \in Z >0: 36^r=a^s\Leftrightarrow 36=\sqrt[r]{a^s} \Rightarrow [36]:=\left\{\sqrt[r]{a^s}| r,s \in \mathbb Z >0, a \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

Wie genau sieht diese Äquivalenzklasse aus?
Also kannst du da mal konkrete Zahlen angeben?

31.01.2012, 22:47

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse
Danke erstmal für die antwort :-)

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Hier ist Sei r'=r und s'=s so nicht richtig, im Allgemeinen kannst du nicht annehmen, dass diese gleich sind.
Du musst da wirklich nochmal mit verschiedenen Zahlen rechnen

Könnte ich es so machen, dass ich sage:
$\begin{eqnarray*} aRb \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bRc \Leftrightarrow \exists m,n \in \mathbb Z >0 : b^{m}=c^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b=a^{r/s} \end{eqnarray*}$ wenn man dann b einsetzt hat man:
$\begin{eqnarray*} a^{(rm)/s} = c^n \end{eqnarray*}$
Darf man hier jetzt: Sei r=s=1
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists m,n: a^m = c^n \Leftrightarrow aRc \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von Juppie
Äquivalenzklasse von 36:

$\begin{eqnarray*} 36Ra:\Leftrightarrow \exists r,s \in Z >0: 36^r=a^s\Leftrightarrow 36=\sqrt[r]{a^s} \Rightarrow [36]:=\left\{\sqrt[r]{a^s}=a^{r/s}| r,s \in \mathbb Z >0, a \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$

Wie genau sieht diese Äquivalenzklasse aus?
Also kannst du da mal konkrete Zahlen angeben?

Es sind zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} 6^{2/1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6^{4/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6^{6/3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6^{8/4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6^{10/5} \end{eqnarray*}$
.
.
.
Also bei denen immer gilt $\begin{eqnarray*} 6^{r/s} \end{eqnarray*}$ mit r=2s

Weiter
$\begin{eqnarray*} 36^{1/1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36^{2/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36^{3/3} \end{eqnarray*}$
.
.
.
Also bei denen immer gilt $\begin{eqnarray*} 36^{r/s} \end{eqnarray*}$ mit r=s

Weiter
$\begin{eqnarray*} 1269^{1/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1269^{2/14} \end{eqnarray*}$
.
.
.
Also alle $\begin{eqnarray*} 1269^{r/s} \end{eqnarray*}$ mit s=2r

Wie kann ich das sinnvoll in eine Klasse packen?

01.02.2012, 15:25

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Zahlen sind also alle
$\begin{eqnarray*} 36^{r/s} \end{eqnarray*}$ mit r=s oder
$\begin{eqnarray*} (36^{1/2})^{r/s} \end{eqnarray*}$ mit r=2s oder
$\begin{eqnarray*} (36^{2})^{r/s} \end{eqnarray*}$ mit s=2r
.
.
.
Das heißt, dass es alle Zahlen sind mit:

$\begin{eqnarray*} (36^{m/n})^{r/s}=36^{mr/ns} \end{eqnarray*}$ mit rm=ns

Hmm, naja das ist komisch, stimmt das denn? Ich glaub irgendwie nicht...

01.02.2012, 20:44

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Zitat:

Original von Juppie

Könnte ich es so machen, dass ich sage:
$\begin{eqnarray*} aRb \Leftrightarrow \exists r,s \in \mathbb Z >0 : a^r=b^s \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} bRc \Leftrightarrow \exists m,n \in \mathbb Z >0 : b^{m}=c^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b=a^{r/s} \end{eqnarray*}$ wenn man dann b einsetzt hat man:
$\begin{eqnarray*} a^{(rm)/s} = c^n \end{eqnarray*}$
Darf man hier jetzt: Sei r=s=1
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists m,n: a^m = c^n \Leftrightarrow aRc \end{eqnarray*}$

" r=s=1" kannst du hier auch nicht annehmen, aber im Prinzip steht es ja auch schon da:

$\begin{eqnarray*} a^{(rm)/s} = c^n \Rightarrow a^{rm} = c^{ns} \end{eqnarray*}$
Da steht dann ja schon das, was zu zeigen ist smile

Meine Frage nach der Äquivalenzklasse zieht mehr darauf ab, dass du mir einige Zahlen dieser Klasse nennst (keine Gleichung, sondern konkrete Zahlen)

02.02.2012, 16:32

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort :-)

Ich bin mir nicht sicher mit den Zahlen, weil am Ende müssen die doch alle 36 sein, dann ist es doch nur die Zahl 36,
oder möchtest du Zahlen, wie 6² ??
Kann ich noch nen Tipp haben?

02.02.2012, 16:43

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Juppie
Danke für die Antwort :-)

Ich bin mir nicht sicher mit den Zahlen, weil am Ende müssen die doch alle 36 sein, dann ist es doch nur die Zahl 36,
oder möchtest du Zahlen, wie 6² ??
Kann ich noch nen Tipp haben?

Du könntest mal ein paar Zahlen aufschreiben, die zu 36 äquivalent sind.

02.02.2012, 18:45

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

36 = 6² = 72/2 = ...

Ich seh da aber nichts, das mit dem r und s helfen würde ...

02.02.2012, 20:36

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Juppie
36 = 6² = 72/2 = ...

Ich seh da aber nichts, das mit dem r und s helfen würde ...

Damit ist aber schonmal 6 äquivalent zu 36. denn $\begin{eqnarray*} 36^1=6^2 \end{eqnarray*}$ Freude

Kannst du nach diesem Muster noch weitere äquivalente Zahlen zu 36 finden?

06.02.2012, 14:23

Juppie

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß leider echt nicht so genau was du meinst und wie das zu der Aufgabe passt...
Kannst dus mir erklären bitte?

Neue Frage »

Antworten »

Äquivalenzrelation und Äquivalenzklasse

Verwandte Themen