Volumenformel für Tetraeder

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Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenformel für Tetraeder
Hi,

Zwei Aufgaben, bitte um Hilfe.

Berechne

1) Die Höhe auf die Basis ABC
2) Das Volumen
3) die Oberfläche des Tetraeders ABCD.

a) A(1/2/1), B(7/10/1), C(-3/6/3), D(2/3/9)

Mein Vorschlag:

Ich rechne die Vektoren a, b, c.

In dem ich, Vektor AB für a. / Vektor BC für b. / Vektor CD für c.
Soweit richtig ?

danach kann ich die Volumenformel verwenden.

V = ( a +( vektorielles Produkt) b)/6 * c )

soweit richtig ?

jetzt brauche ich soweit ich weis noch die Höhe und die Oberfläche.

H = 3V/A

A= (a*b)/2
richtig ?

Oberfläche = O = A1 + A2 + A3 +A4

wie bzw. woher bekomme ich nun A1, A2, A3 und A4 ?


thx für die Tipps.

Lg

Edit: Alle Themen hier sind gleich wichtig. Aus dem Threadtitel entfernt. LG Iorek
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel für V stimmt nicht (anstatt + gehört dort *).
V ist 1/6 des Spatproduktes

Desgleichen ist auch A nicht richtig,

Antwort auf die letzte Frage: So wie die Fläche des Basisdreieckes ermittelt wurde, geschieht dies auch für die anderen 3 Dreiecke. Es müssen also nur die Vektoren entsprechend verändert werden.

mY+
 
 
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

ich komme irrgendwie nicht mit, wie soll ich das Tetraeder beschriften.

Woher weiß ich das Vektor AB = Vektor a ??
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beschriftung ist doch frei wählbar. Nur muss man natürlich die einmal getroffenen Vereinbarungen beibehalten.

Günstig ist:
AB = a, AC = b, AD = c (a, b, c sind Vektoren)

mY+
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Die Formel für V stimmt nicht (anstatt + gehört dort *).
V ist 1/6 des Spatproduktes

Desgleichen ist auch A nicht richtig,

Antwort auf die letzte Frage: So wie die Fläche des Basisdreieckes ermittelt wurde, geschieht dies auch für die anderen 3 Dreiecke. Es müssen also nur die Vektoren entsprechend verändert werden.

mY+


heißt dies, ich rechne die Fläche einmal aus und multipliziere sie mit 4 ?

also für die Oberfläche ?



Wie berechne ich nun die Oberfläche, nachdem ich alle vier Flächen berechnet habe ?
A1(8/-6/28), A2(32/-24/3), A3(-15/-17/4), A4(9/-37/-28)

Ich weiß nicht wie ich diese zusammen zählen soll und dabei auf eine Ganze Zahl kommen...

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt einmal der Reihe nach, was hast du denn bisher ausgerechnet?

Was fehlt noch?

Ich sehe bei dir nur Ansätze aber keine Rechnung.

Hast du die Vektoren a,b,c denn ausgerechnet? Wie lauten sie?

Hast du nach Mythos Hilfe auch mal das Volumen berechnet?

Wie lautet das?

...Und die Oberflächen der einzelnen Teilflächen?

Kann man auch mal Rechenweg und Ergebnis hinschreiben.

Dann: Wo kommst du jetzt nicht weiter, was genau ist das Problem?

Bitte einmal ausführlich schildern.
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

hi, ich fange mal an.

Ich habe zuerst alle Flächen berechnet.

A1= ( AB x AC ) * 0,5. = (6/8/0) + (-4/4/2) * 0,5 = ( 8 / -6 / 28 )

A2= ( AB + AD ) * 0,5 = ( 32 / -24/ 3 )

A3=( AD + AC ) * 0,5 = (-15/-17/4)

A4= ( BD + BC ) * 0,5 = ( 9 / -37/ -29 )

Stimmt meine Berechnung, meine Ergebnisse ?
Wie berechne ich nun die Oberfläche ?

wie gehts weiter ?

lg
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

O= A1 + A2 + A3 + A4

Aber wie addiere ich nun die 3 Flächen, die ich als Vektoren angegeben habe ..
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Warum steht bei dir eine Addition? Es ist der Betrag des Kreuzproduktes zu bilden. Die Vektoren im Ergebnis scheinen richtig zu sein (habe nur Stichprobenartig nachgerechnet), aber ein Vektor ist kein Flächeninhalt, also Betrag bilden (oder auch euklidsche Norm).
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Volumen

V= Spatprodukt von(( a * b Vektor ) / 6) ( ist doch egal ob *1/6 oder /6 ) * c

V= (( a x b )/6) * C

Vektor AB = a Vektor.
Bc = b
Cd = c

soweit alles richtig ?

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt lass uns doch mal eines nach dem anderen machen, und nicht alles durcheinander.

Zuerst einmal, damit haben wir angefangen, bestimmen wir die Flächen der einzelnen Dreiecke, alles weiter später, bis 5 ist ja noch nen bisschen hin.......

Desweiteren wäre es schön, wenn du Latex verwenden würdest, der Formeleditor erleichtert dir den Einstieg.
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, ich versuch mein Bestes. : )
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also als nächstes erst mal die Beträge der Vektoren bestimmen.
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich gemacht,
danach habe ich alle Beträge zusammengezählt.

Leider weicht das Ergebnis von dem im Lösungsbuch um 4 Flächeneinheiten ap.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, suchen wir mal den Fehler.

richtig

falsch

richtig

falsch


Ganz schön schief dein Tetraeder.... Augenzwinkern
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Okay, suchen wir mal den Fehler.

richtig

falsch

richtig

falsch


Der Betrag deiner Zahlen ergibt die richtige Oberfläche x)

Fehler gefunden. Habe jetzt auch das richtige Ergebnis. x))

Wie machen wir weiter ?

V = Betrag von( a +(spatprodukt) b /6) * c

AB = a
BC = b
CD = c


( ich versuche das nochmal mit dem Formeleditor einzugeben X)
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Im Gegensatz zu dir kann ich aus den Werten nichts herauslesen, deswegen weiß ich auch nit ob der schief war oder nicht x)))

Woa i merk es gibt soviel noch zu lernen smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lindachen


Wie machen wir weiter ?

V = Betrag von( a +(spatprodukt) b /6) * c


Hier sollte Kreuzprodukt stehen, das Spatprodukt ist

Das ist deine Entscheidung, aber zuerst das Volumen zu berechnen ist nicht das dümmste.

Bitte achte aber auf Klammersetzung, die Formel ist so nicht auszuhalten. Anstelle des Spatproduktes kann man auch die Determinante der Matrix berechnen, deren Zeilenvektorn die Vektoren AB, AC, AD sind, ich selbst finde das etwas einfacher als das Spatprodukt, bleibt aber dir überlassen.
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Zitat:
Original von Lindachen


V = Betrag von( a +(spatprodukt) b /6) * c


Hier sollte Kreuzprodukt stehen, das Spatprodukt ist

.


ich bin etwas verwirrst.

V = / 6

oder

V = (a * b * C) /6

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Was verwirrt dich denn so?

Das Spatprodukt ist einfach definiert als

Das Ergebnis ist das Volumen des aufgespannten Spats (deshalb auch Spatprodukt), also des "schiefen Quaders", der von den Vektoren a,b,c begrenzt wird.


Dabei ist x das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt.

Also, einfach ausrechnen....
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

\left(AB\right) = a = (6/8/0)

\left(BC\right) = b = (-10/-4/2)

\left(CD\right) = c = (5/-3/6)

V= \left(a \times b\right)*c / 6

soweit ist alles richtig ?

lg
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »



soweit glaube ich stimmt es, da ich es ausgerechnet habe, jedoch auf ein falsches Ergebnis komme.

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das Spat betrachten, da das Kreuzprodukt bereits ausgerechnet ist.

Wenn man sich das mal graphisch anschaut macht es auch mehr Sinn.....
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

kreuzprodukt von a x b = ( 16 / -12 / 56 )

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, nun das ganze mit dem Vektor AD multiplizieren....
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Ich würde das Spat betrachten, da das Kreuzprodukt bereits ausgerechnet ist.

Wenn man sich das mal graphisch anschaut macht es auch mehr Sinn.....


ok, ich versuche es auf diese Art.

lg
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Tja, nun das ganze mit dem Vektor AD multiplizieren....


Hab das richtige Ergebnis herausbekommen.

Ich habe immer mit BC statt AD multipliziert.
Mir fehlt glaube ich einfach die Vorstellung von dem Ganzen.

Ich dachte das Vektor c= BC und nicht AD x)


Jetzt zur Höhe.

H = 3V / G

Wie bekomme ich die Grundfläche hmm smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Die hast du doch schon ausgerechnet, es ist eines der Kreuzprodukte, die du bereits am Anfang berechnet hast, die Grundfläche ist doch Bestandteil der Oberfläche. In der Aufgabenstellung ist sogar gesagt, dass die Grundfläche die Fläche ABC sein soll, also welches Kreuzprodukt ist zu wählen?

Edit: Achso, es ist, wenn einem die Vortsellung fehlt auch hilfreich, sich erst mal eine Skizze zu machen, mache ich auch immer und habe sie während der gesamten Bearbeitung einer solchen Aufgabe vor mir liegen (auch bei dieser Aufgabe) Augenzwinkern
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Die hast du doch schon ausgerechnet, es ist eines der Kreuzprodukte, die du bereits am Anfang berechnet hast, die Grundfläche ist doch Bestandteil der Oberfläche. In der Aufgabenstellung ist sogar gesagt, dass die Grundfläche die Fläche ABC sein soll, also welches Kreuzprodukt ist zu wählen?


Das fehlt mir eben total.
Ich habe überhaupt keine Vorstellung von einem Tetraeder.

ich glaube AB x AD

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

In der Schule nennt man einen Tetraeder auch "Pyramide mit dreieckiger Grundfläche", klingelts?

Tetraeder heißt "Vierflach" übersetzt, also ein Körper mit vier Flächen......

Dann sind auch die Zusammenhänge etwas klarer, oder?

Nein, das von dir beschrieben Dreieck ist ABD, die Grundfläche soll aber ABC sein......

Edit: Achso, was soll jetzt eigentlich mit deinem Usernamen geschehen, willst du den behalten?

Dann kannst du auch als registrierter User antworten (ich weiß das ja nun), du hast dann die Möglichkeit, deine Beiträge zu editieren und Nachrichten zu versenden (hast du ja schon ausprobiert) Augenzwinkern
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist AB x AC

Ich weiß jedoch nicht genau warum ... x)

Wäre echt nett, wenn du mir bei der nächsten Aufgabe helfen könntest, welches dieser ähnlich ist, es geht jedoch um eine quadratische Pyramide.
Lindachen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
In der Schule nennt man einen Tetraeder auch "Pyramide mit dreieckiger Grundfläche", klingelts?

Tetraeder heißt "Vierflach" übersetzt, also ein Körper mit vier Flächen......

Dann sind auch die Zusammenhänge etwas klarer, oder?

Nein, das von dir beschrieben Dreieck ist ABD, die Grundfläche soll aber ABC sein......

Edit: Achso, was soll jetzt eigentlich mit deinem Usernamen geschehen, willst du den behalten?

Dann kannst du auch als registrierter User antworten (ich weiß das ja nun), du hast dann die Möglichkeit, deine Beiträge zu editieren und Nachrichten zu versenden (hast du ja schon ausprobiert) Augenzwinkern


Jetzt hab ich es.
Hm ja aufjedenfall. smile

Vll bin ich ja irgendwann im Stande auch Tips zu geben x)
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, das ist richtig. Wenn du jetzt weißt, was ein Tetraeder ist, empfehle ich dir, einmal einen skizzenartig aufzumalen und die Rechenwege nachzuvollziehen, dann wird wirklich einiges klarer.

Richtig, die Grundfläche ist .

Okay, nun noch die Höhe ausrechnen und fertig.

Ich habe jetzt nicht mehr so lange Zeit, muss erst mal mit dem Hund raus, kann aber in einer Stunde oder so noch mal nach deiner zweiten Aufgabe schauen.
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Jap, das ist richtig. Wenn du jetzt weißt, was ein Tetraeder ist, empfehle ich dir, einmal einen skizzenartig aufzumalen und die Rechenwege nachzuvollziehen, dann wird wirklich einiges klarer.

Richtig, die Grundfläche ist .

Okay, nun noch die Höhe ausrechnen und fertig.

Ich habe jetzt nicht mehr so lange Zeit, muss erst mal mit dem Hund raus, kann aber in einer Stunde oder so noch mal nach deiner zweiten Aufgabe schauen.


Alles klar, nett von dir. Thx.

Hab das richtige Ergebnis herausbekommen, ich werde mir jetzt alles nochmal genau ansehen damit ich es auch selber später anwenden kann smile
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

@Tipso:

Du hast zwei PN, bitte hole sie ab.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
...
Richtig, die Grundfläche ist .
...

Weshalb schreibst du doppelte Betragsstriche?

mY+
Tipso Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von lgrizu
...
Richtig, die Grundfläche ist .
...

Weshalb schreibst du doppelte Betragsstriche?

mY+


ist ein Fehler.

Der innere Betragsstrich sollte eine klammer darstellen.

lg
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich mir angewöhnt für Normen, und es handelt sich ja um eine Vektornorm.

@Tipso
Nein, das ist schon beabsichtigt, wie gesagt, ist eine anerkannte Schreibweise für Normen.
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