Beweis für Vektorraum | Verständnishilfe bei Lösungsansatz benötigt

03.02.2012, 04:15

ascer

Beweis für Vektorraum | Verständnishilfe bei Lösungsansatz benötigt

Hi Leute,

leider tu ich mich noch immer mit Beweisen schwer. Ein Beweis durch Widerspruch ist ja relativ einfach, man muss ja nur zeigen, dass etwas nicht hinkommt.
Zu beweisen, dass etwas für sämtliche Fälle xyz gilt, fällt mir deutlich schwerer..irgendwie hat es da noch nicht so "Klick" gemacht.

Zitat:

Beispielaufgabe:

Es bezeichne $\begin{eqnarray*} F(\mathbb R ,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ den Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aller Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ (mit der üblichen punktweise definierten Addition und skalaren Multiplikation).
Entscheiden Sie, ob die folgende Menge ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} F(\mathbb R ,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} C = \left\{ f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \:|\: f(x)=0 \: \forall \, x \in \mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray*}$

Und als "Lösung" wurde dafür nur plump folgendes definiert:

Zitat:

Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} f(x):=0 \\ \forall x \in \mathbb R \\ \\ f,g \in C \\ f(x)+g(x) \in \mathbb R \\ \\ \lambda \in K, \: f(x) \in C \\ \lambda f(x) \in \mathbb R \\ \\ C\neq \varnothing \\ \\ \Rightarrow C \subseteq F, \:\: C \:\: ist \:\: Untervektorraum \end{eqnarray*}$

Mir ist schon klar, dass das die Definition von Untervektorräumen erfüllt: Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition, Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation und der Untervektorraum ist nicht gleich der leeren Menge.

Aber ich versteh den Lösungsansatz trotzdem nicht. Soweit ich es mitgekriegt habe, soll das bereits als Lösung ausreichen.

Mal abgesehen davon, dass ich nicht verstehe, warum anfangs f(x):=0 definiert wird, ist das doch eigentlich nichts anderes, als einfach nur die Definitionen für einen Untervektorraum hingeschrieben?

Wo ist denn da ein Beweis, dass z.B. für alle Lambda tatsächlich die Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation gilt?
Wo ist denn hier bewiesen, dass f(x)+g(x) unbedingt Element der reellen Zahlen sein muss? Warum reicht sowas als "Beweis" aus?

Grundlegendes Problem:
Ich verstehe schon die Kriterien für einen Untervektorraum bzw., dass der Lösungsansatz sie beinhaltet, aber mir erschließt sich überhaupt nicht, warum das geschriebene im Lösungsansatz schon ein Beweis sein soll...
In meinen Kopf will einfach nicht rein, wie das ein Beweis(!) sein soll, für sämtliche Fälle, dass das hinkommt und C ein Untervektorraum von F ist.

Könnte mir das jemand vielleicht erklären?^^

Beim Widerlegen, wie gesagt, ist es ja einfach, ich brauch nur für ein Kriterium ein Gegenbeispiel finden, was oft leicht und schnell getan ist.
Aber beweisen, dass etwas so ist...ich steh irgendwie jedes mal wieder mit'm Brett vom Kopf da, und denke mir, wie kann ich denn mit den Kriterien wirklich beweisen, dass das für alle Eventualitäten passt?
Irgend ein Beispiel bringen bringt ja gar nichts, da das nur ein Fall wäre, wenn es aber ein Untervektorraum sein soll, muss es ja z.B. für alle $\begin{eqnarray*} f,g \in C \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f(x)+g(x) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ich verstehe einfach nicht, wo da im Lösungsansatz der Beweis ist und wie ich generell zeige, dass eben z.B. für alle f(x)+g(x) das auch hinkommt...könnte mir da jemand vielleicht auf die Sprünge helfen?

grüße & danke im Vorraus,

ascer

03.02.2012, 08:48

klarsoweit

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RE: Beweis für Vektorraum | Verständnishilfe bei Lösungsansatz benötigt
Hmm. Entweder wurde der Lösungsansatz falsch vorgetragen oder du hast ihn falsch verstanden oder abgeschrieben. Richtigerweise ist folgendes zu beweisen:

1. Seien $\begin{eqnarray*} f,g \in C \end{eqnarray*}$ , dann muß auch $\begin{eqnarray*} f+g \in C \end{eqnarray*}$ sein.

2. Seien $\begin{eqnarray*} \lambda \in K, \: f \in C \end{eqnarray*}$ , dann muß auch $\begin{eqnarray*} \lambda \cdot f \in C \end{eqnarray*}$ sein.

3. C ist nicht leer.

03.02.2012, 08:58

ollie3

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RE: Beweis für Vektorraum | Verständnishilfe bei Lösungsansatz benötigt
hallo ascer,
also da kann ich dir weiterhelfen.
Übrigens ist bei dem beweisansatz etwas schiefgelaufen. Es muss nämlich immer heissen
"element von" C und nicht "element von" R, vielleicht sind dadurch deine probleme entstanden.
Zum beispiel muss es dann heisssen: f,g elem.von C, daraus folgt f(x)+g(x) el.von C, und das
ist ja einer der bedingungen für ein untervektorraum, und das ist doch klar, wenn man 2 funktionen
f und g addiert, die bei allen ganzen zahlen immmer auf 0 springen, so muss die neue funktion
f+g ja auch immer bei den ganzen zahlen auf 0 springen. Genauso verhält es sich, wenn man
die funktion mit einem konstanten faktor lambda multipliziert. Und die nullfunktion selbst nimmt
trivialerweise auch bei allen ganzen zahlen den wert 0 an.
So sind also alle unterraumbedingungen erfüllt.
ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
gruss ollie3

03.02.2012, 12:21

ascer

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RE: Beweis für Vektorraum | Verständnishilfe bei Lösungsansatz benötigt
Vielen Dank für das Feedback, etwas klarer ist es auf jeden Fall geworden smile

Ok, also müsste das ganze so aussehen?!

Zitat:

Lösungsansatz:

$\begin{eqnarray*} f(x):=0 \\ \forall x \in \mathbb R \\ \\ f,g \in C \\ f(x)+g(x) \in C \\ \\ \lambda \in K, \: f(x) \in C \\ \lambda f(x) \in C \\ \\ C\neq \varnothing \\ \\ \Rightarrow C \subseteq F, \:\: C \:\: ist \:\: Untervektorraum \end{eqnarray*}$

Ich versteh aber trotzdem noch nicht genau, warum dass jetzt zweifelsfrei bewiesen ist...die Bedingung sagt mir doch nur, dass für alle x aus den ganzen Zahlen f(x)=0 ist.
Was ist denn für reelle x, die ich in f(x) einsetze?
Da weiß ich doch dann gar nicht, was da bei rauskommt?

Ich mein es müsste doch noch mehr in C geben, als nur Nullfunktionen, wenn von R nach R abgebildet wird?!

03.02.2012, 12:44

Mulder

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RE: Beweis für Vektorraum | Verständnishilfe bei Lösungsansatz benötigt

Zitat:

Original von ascer
Ich mein es müsste doch noch mehr in C geben, als nur Nullfunktionen, wenn von R nach R abgebildet wird?!

Ja, aber man nimmt sich eben nur die Funktionen heraus, die für alle x aus Z null werden (dort also Nullstellen haben). Also eine Teilmenge von allen Funktionen, die von R nach R abbilden.

Und diese Menge von Funktionen, da wird geschaut, ob die einen Untervektorraum bilden. Man hat natürlich keine Ahnung, welche Werte diese Funktionen für nichtganzzahlige x annehmen, aber das interessiert an dieser Stelle auch niemanden. Hauptsache, für alle x aus Z ist f(x)=0. Dann liegt diese Funktion in C.

Neben der Nullfunktion (also die Funktion, die wirklich jedes x auf null abbildet) könnte man als Beispiel auch noch f(x)= sin(pi * x) nennen. Versuch auch gerne, dir selbst noch Beispiel zu überlegen, damit wirklich klar wird, was C eigentlich ist.

03.02.2012, 18:58

ascer

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Ok, also obwohl C eine Menge (in dem Fall auch =Gruppe??) von Funktionen ist, die als f: R->R definiert sind, interessieren uns sämtliche Funktionen f: R->R nicht, sondern nur diese Funktionen, die für jedes x aus Z f(x)=0 ergeben?
Also quasi nur Funktionen, die an jedem x aus Z eine Nullstelle haben?

Hmm...und nur diese Funktionen sind dann in der Menge (in dem Fall auch =Gruppe??) enthalten?

Und dann überprüf ich einfach nur, ob 0+0 in C und meinetwegen 5*0 in C liegt?

Und noch eine weitere Frage, wie würde sich die Beweisführung und die Antwort bei folgenden Aufgabenänderungen verhalten:

a.) Vektorraum F wird anders definiert, nämlich: $\begin{eqnarray*} F(\mathbb R ^{2} \rightarrow \mathbb R^{2}) \end{eqnarray*}$

b.) Vektorraum F wird anders definiert, nämlich: $\begin{eqnarray*} F(\mathbb R ^{3} \rightarrow \mathbb R^{2}) \end{eqnarray*}$

c.) Menge C wird anders definiert, nämlich: $\begin{eqnarray*} C = \left\{ f: \mathbb R^{2} \rightarrow \mathbb R^{2} \:\: | \:\: f(x)=0 \: \: \forall \, x \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

d.) Menge C wird anders definiert, nämlich: $\begin{eqnarray*} C = \left\{ f: \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R^{2} \:\: | \:\: f(x)=0 \: \: \forall \, x \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$

So bzw. so ähnliche Aufgaben hatten wir auch schon...leuchtete mir aber nicht wirklich ein.
Da wüsste ich jetzt auch gar nicht, wie ich mir Funktionen vorstellen sollte, die z.B. aus dem $\begin{eqnarray*} R^{2} \end{eqnarray*}$ stammen. Sind das einfach immer vektorwertige Funktionen?
Oder kann das auch sowas wie f(x,y)=2x+y sein(als banales Beispiel)?
Wie sieht man Koordinatensystem dann aus? Hätte das dann x,y,z Achse, um jeweils auf den x,y-Achsen laufen zu können und auf der z-achse den Funktionswert anzugeben für beliebige x,y?

Wie würde ich die Untervektorraumbeweisführung anpassen müssen?

03.02.2012, 19:13

Mulder

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Ein Vektorraum per se ist keine Gruppe. Ein Vektorraum V ist eine additive abelsche Gruppe (V,+) auf der dann zusätzlich noch eine Skalarmultiplikation aus einem zugrundeliegenden Körper definiert wird.

Zitat:

Original von ascer
Und dann überprüf ich einfach nur, ob 0+0 in C und meinetwegen 5*0 in C liegt?

Du prüfst, ob die Summe zweier Funktionen aus C wieder in C liegt und ob man eine Funktion aus C mit einem Skalar multiplizieren darf und dann auch noch in C liegt.

Zitat:

Original von ascer
Und noch eine weitere Frage, wie würde sich die Beweisführung und die Antwort bei folgenden Aufgabenänderungen verhalten:

Wenn du in höherdimensionale Räume gehst, müsstest du dann erst mal klären, was x überhaupt sein soll. Deine Definitionen von der Menge C bei c.) und d.) machen keinen Sinn.

Ansonsten ändert sich fast gar nichts. Die Rechnung bleibt dieselbe. Aber du solltest gar nicht unbedingt versuchen, dir bei Vektorräumen irgendwas vorzustellen. Schon gar nicht mit Koordinatensystemen. In manchen Fällen geht's, in den meisten aber nicht. Helfen tut es aber eigentlich nie.

Zitat:

Original von ascer
Oder kann das auch sowas wie f(x,y)=2x+y sein(als banales Beispiel)?

Ja, das wäre eine Abbildung vom R² nach R beispielsweise.

Zitat:

Original von ascer
Wie würde ich die Untervektorraumbeweisführung anpassen müssen?

Das ist keine sinnvolle Frage in meinen Augen. Die Kriterien bleiben genau die gleichen. Einfach nachrechnen.

03.02.2012, 19:28

ascer

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Also wenn ich F(R^2,R^2) wähle beispielsweise, kann mein C trotzdem noch R->R sein und f(x)=0 für alle x in Z und da dann 0+0 wieder in C und lambda*0 wieder in C liegen, ist es immernoch ein Untervektorraum?

Müssten bei f,g in C und lambda in K dann nicht f+g in F und lambda*f in F gelten?

Oder ist das egal, dass C nur f:R->R abbildet und mein Vektorraum F aber R^2 -> R^2 ?

EDIT: warum genau machen c.) und d.) keinen Sinn?

03.02.2012, 19:45

Mulder

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Funktionen von R nach R sind keine Teilmenge (also auch ganz sicher kein Untervektorraum) von Funktionen von R² nach R². Das sind komplett andere Dinge.

Schuhe sind doch auch keine Teilmenge aller Säugetiere.

Lies nochmal nach, was ein Untervektorraum genau ist.

03.02.2012, 19:49

ascer

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also kann ein beliebiges C nur dann Untervektorraum eines Vektorraums V sein, wenn V und C von derselben Dimension in dieselbe Dimension abbilden?

Wenn also V R^2->R^2 ist, dann muss C auch R^2->R^2 sein, ansonsten kann es schonmal keine Teilmenge sein?

03.02.2012, 19:50

Mulder

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Selbstverständlich. Wie gesagt, das steht in der Definition drin!

03.02.2012, 19:59

ascer

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Ok, vielen Dank für die Hilfe! smile

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