Nullstellen bei Polynomen

16.01.2007, 18:03

IceTi

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Nullstellen bei Polynomen

Hi,
hätte da nochmal eine Frage und zwar geht es diesmal um die Berechnung von Nullstellen eines Polynomes:

Die Aufgabe findet Ihr hier:
http://home.arcor.de/timo-bo/img013.jpg

Und meine "Lösung" hier:
http://home.arcor.de/timo-bo/img014.jpg

Bin mir halt nur nich sicher ob das richtig ist, da ich die Lösungen für diese Aufgaben leider nicht habe. Wäre euch SEHR dankbar würde das mal ein kontrollieren und mir ggf. sagen was ich falsch gemacht habe.

DANKE

16.01.2007, 18:45

Leopold

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Deinen Rechenweg verstehe ich nicht. Ich würde es so machen: Auch 1 ist Nullstelle. Daher lassen sich $\begin{eqnarray*} z - 1 - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z - 1 \end{eqnarray*}$ abspalten. Mit Polynomdivision erhält man die Faktorzerlegung

$\begin{eqnarray*} \left( z - 1 - \operatorname{i} \right) \left( z - 1 \right) \left( z^3 + 1 - \operatorname{i} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Und die letzte Klammer ist dann auch problemlos.

17.01.2007, 15:32

IceTi

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Hmmm, was wären denn dann die Lösungen für Phi und r ???

17.01.2007, 15:38

therisen

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Du brauchst doch nur noch die Nullstellen zu transformieren

17.01.2007, 15:53

IceTi

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Irgendwie verstehe ich das mit der Lösung nicht so ganz und mit der P-Division, könnte mir einer mal genau die Lösungen hier rein schrieben...sorry wenn ich mich ein wenig dumm anstelle.

18.01.2007, 19:55

IceTi

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Kann mir das jemand vll. nocheinmal genau erklären wie man da vor gehen muss ?

Wäre super Nett.

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18.01.2007, 20:11

Leopold

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Hier kannst du mehr zur Polynomdivision erfahren. Du kannst da auch Beispiele üben.

Wenn du die Zerlegung

$\begin{eqnarray*} \left( z - 1 \right) \left( z - 1 - \operatorname{i} \right) \left( z^3 + 1 - \operatorname{i} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

erst einmal hast, dann mußt du nur beachten, daß ein Produkt genau dann 0 wird, wenn mindestens ein Faktor 0 wird. Damit zerfällt die Gleichung fünften Grades in zwei Gleichungen ersten und eine Gleichung dritten Grades.

18.01.2007, 21:11

IceTi

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Hmm, bin ich echt so dumm?
Verstehe ich leider immer noch nicht traurig

traurig

Wie kann ich diese Aufgabe lösen?
Eine Nullstelle ist ja schon angegebn, muss ich dann noch weitere finden oder kann ich irgendwie mit dieser Nullstelle rechnen ?

18.01.2007, 23:48

Leopold

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Du solltest den Satz kennen, daß, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ Nullstelle eines Polynoms ist, man von diesem den Linearfaktor $\begin{eqnarray*} z-a \end{eqnarray*}$ abspalten kann (Polynomdivision). Wenn du diesen Satz nicht kennst, kannst du, soweit ich das sehe, diese Aufgabe nicht lösen.

18.01.2007, 23:59

IceTi

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Hmm sagt mir jetzt auf die schnelle nicht wirklich was dieser Satz. Kannst du mir den vll. etwas genauer erläutern ?

19.01.2007, 10:10

klarsoweit

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Ich bin sehr erschüttert, daß du diesen Satz nicht kennst oder mit dem Stichwort "Polynomdivision" nichts anfangen kannst. Da stellen sich 2 Fragen:

1. Wo warst du, als das in der Schule dran war?
2. Bist du sicher, daß du im richtigen Studium bist?

Google auch mal unter "Hauptsatz der Algebra". Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 11:36

IceTi

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Polynomdivion kenne ich und kann ich auch , aber sionst weiss ich gar nichts mit dieser aufgabe anzufangen

19.01.2007, 11:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leopold
Ich würde es so machen: Auch 1 ist Nullstelle. Daher lassen sich $\begin{eqnarray*} z - 1 - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z - 1 \end{eqnarray*}$ abspalten. Mit Polynomdivision erhält man die Faktorzerlegung

Nochmal: 1+i und 1 sind bekannte Nullstellen. Also kannst du aus dem Polynom die Faktoren (z-1-i) und (z-1) abspalten. das macht man in einem Zug, indem man zuerst (z-1-i) * (z-1) berechnet und dann durch diesen Faktor Polynomdivision macht.

19.01.2007, 12:50

IceTi

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Ok, also muss ich noch eine 2. Nullstelle finden, nur mit der die dort angegeben wurde kann ich also nicht rechnen ?

Heisst das bei solchen Polynomen muss ich immer eine Imaginäre Nullstelle und eine reele finden ?

EDIT:
(z-1-j)*(z-1) ist das = z² - z - (1-j)z + (1-j) ???

19.01.2007, 13:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi
Ok, also muss ich noch eine 2. Nullstelle finden, nur mit der die dort angegeben wurde kann ich also nicht rechnen ?

Verstehe ich nicht ganz. Du hast doch 2 Nullstellen.

Zitat:

Original von IceTi
Heisst das bei solchen Polynomen muss ich immer eine Imaginäre Nullstelle und eine reele finden ?

Kann man so allgemein nicht sagen.

Zitat:

Original von IceTi
(z-1-j)*(z-1) ist das = z² - z - (1-j)z + (1-j) ???

Ich komme auf was anderes. Obendrein kannst du noch z ausklammern.

19.01.2007, 13:14

IceTi

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Sorry aber so richtig Blick ich da immer noch nicht durch.

Eine Nullstelle wurde mir ja vorgegeben ud zwaar (1+j).
Aber ihr meint ich muss nich die Nullstelle 1 zur "Hilfe" nehmen oder ?

Nur mit (1+j) kann ich also nicht rechnen ?

Was hast du denn bei der Multiplikation rausbekommen ?

19.01.2007, 13:19

klarsoweit

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nochmal: 1+i und 1 sind bekannte Nullstellen. Also kannst du aus dem Polynom die Faktoren (z-1-i) und (z-1) abspalten. das macht man in einem Zug, indem man zuerst (z-1-i) * (z-1) berechnet und dann durch diesen Faktor Polynomdivision macht.

Also noch einmal:
1+i und 1 sind bekannte Nullstellen. Man kann also dein Polynom sowohl durch (z-1-i) als auch durch (z-1) dividieren. Also kann man es auch durch (z-1-i)*(z-1) dividieren. Und dazu muß man eben das Produkt (z-1-i)*(z-1) mal ausrechnen. Und das machst du bitte selbst. Schließlich bist du an einer Hochschule. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2007, 13:26

IceTi

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Ok, das ausrechenen mache ich gleich nocheinmal in Ruhe :-)

Aber wieso brauch ich noch die 1 als Nullstelle das verwirrt mich noch ein wenig, weil ich extra schon eine Nullstelle angegebn wurde, warum sollte ich dann noch eine 2. also die 1 finden ?

19.01.2007, 13:33

klarsoweit

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Es geht doch darum, daß du das Polynom in Linearfaktoren zerlegst. Und jede Nullstelle liefert dir einen Linearfaktor. Da ist man für jede Nullstelle dankbar. Hätte Leopold den Tipp mit der Nullstelle 1 nicht gegeben, dann müßtest du durch (z-1-i) dividieren. Das ist dann schon etwas lästig, zumal du dann noch ein Polynom 4. Grades hast. Da dividiert man doch lieber durch (z-1-i)*(z-1) und kommt auf ein Polynom 3. Grades.

19.01.2007, 13:39

IceTi

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Hmm ok.

Würde das bei dieser Aufgabe dann auch so gehen:
$\begin{eqnarray*} p(z) := z^5+(-2-j)z^4+(1+j)z^3+(1-j)z²+(-3+j)z+2 \end{eqnarray*}$
?

Als Nullstelle wurde hier: $\begin{eqnarray*} 1+j \end{eqnarray*}$ angegeben.

19.01.2007, 13:43

klarsoweit

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Verstehe die Frage nicht. Was soll da gehen?

19.01.2007, 13:47

IceTi

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Aolso brauche ich für diese Aufgabe auch noch eine 2. Nullstelle ?

Ahh irgendwie verstehe ich dieses ganze Thema nicht. unglücklich

unglücklich

19.01.2007, 13:57

klarsoweit

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Irgendwie weichst du immer aus und langsam fällt es mir schwer, die Geduld zu behalten.

Also noch einmal. Du hast ein Polynom 5. Grades. Davon sollst du die Nullstellen bestimmen. Der Hauptsatz der Algebra besagt, daß es inclusive der mehrfachen Nullstellen insgesamt genau 5 Nullstellen gibt. Du brauchst also nicht nur eine 2. Nullstelle, sondern auch eine 3., 4. und 5. Nullstelle. Dabei können, wie gesagt, Nullstellen auch mehrfach vorkommen. Mit jeder Nullstelle, die du findest, dividierst du dein Polynom durch (z - Nullstelle). Damit reduzierst du dein Polynom um genau einen Grad. Irgendwann bist du beim Grad 1 angekommen und damit hast du alle Nullstellen beisammen.

19.01.2007, 15:00

IceTi

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Das wäre dann aber schon eine ganzschöne rechnereie oder ?
Bei einer etwas einfachen Aufgabe habe ich erst eine Nullsttle gesucht und gefunden und dann r ausgerechenen und Phi und dann diese Formel angewand:

$\begin{eqnarray*} Phi = Phi + 2*k*Pi/n (Grad des Polynomes) \end{eqnarray*}$

Kann ich das auf diese Aufgabe auch irgendwie anwenden ?

Danke für deine Mühe.

19.01.2007, 15:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi
Das wäre dann aber schon eine ganzschöne rechnereie oder ?

Nun ja. An der Hochschule wird einem nichts geschenkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von IceTi
$\begin{eqnarray*} Phi = Phi + 2*k*Pi/n (Grad des Polynomes) \end{eqnarray*}$

Die Formel ist gut für Nullstellenbestimmung bei Gleichungen der Form
$\begin{eqnarray*} z^n = a \end{eqnarray*}$ , wobei a eine reelle Zahl ist.

Zitat:

Original von IceTi
Kann ich das auf diese Aufgabe auch irgendwie anwenden ?

Nein.

19.01.2007, 15:12

IceTi

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Ok, ich glaube ich habe es verstanden wenn ich nur reele Nullstellen habe ich kann ich diese formel nhemen, falls komplexe Nullstellen auftreten dann nicht ?!

19.01.2007, 15:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi
Ok, ich glaube ich habe es verstanden wenn ich nur reele Nullstellen habe ich kann ich diese formel nhemen

Nein, auch das nicht. Erstens liefert ja diese Formel komplexe Nullstellen (das heißt, du hast nicht nur relle Nullstellen) und zweitens gilt sie wie gesagt nur bei Gleichungen der Form
$\begin{eqnarray*} z^n = a \end{eqnarray*}$ mit reellem a.
Und da ist alles möglich:
- nur komplexe Nullstellen
- 1 reelle Nullstelle und weitere komplexe Nullstellen
- 2 reelle Nullstellen und weitere komplexe Nullstellen

Es gibt noch eine andere Regel, die hier aber nicht hilft:
Hat das Polynom nur reelle Koeffizienten und ist z eine Nullstelle, dann ist auch $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle.

22.01.2007, 13:04

IceTi

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Zitat:

Original von Leopold

$\begin{eqnarray*} \left( z - 1 \right) \left( z - 1 - \operatorname{i} \right) \left( z^3 + 1 - \operatorname{i} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

Das habe ich nun endlich rausbekommen (war dann doch nicht so schwer) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun meine Endergebniss:
Sind die so richtig?

$\begin{eqnarray*} r1 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r3, r4, r5 = 3\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Phi1 = \Pi/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi2 = 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi3 = 3/4 \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi 4 = \pi/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi 5 = 3\pi/4 \end{eqnarray*}$

22.01.2007, 13:23

klarsoweit

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Tut mir leid, das rechne ich jetzt nicht nach. Vielleicht gibst du erstmal die Nullstellen in der Form a+b*i an.

22.01.2007, 13:24

IceTi

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Hmm wie rechen ich diese Form den um ?

22.01.2007, 13:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi
$\begin{eqnarray*} r3, r4, r5 = 3\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das scheint mir nicht ganz sauber zu sein. Poste wenigstens den Weg, wie du dahin gekommen bist.

22.01.2007, 13:36

IceTi

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Das soll: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$ heissen, oder ist es dann immer noch falsch ?

22.01.2007, 14:23

klarsoweit

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Ok, das stimmt dann.

Zitat:

Original von IceTi
$\begin{eqnarray*} Phi2 = 2\pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi3 = 3/4 \pi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi 5 = 3\pi/4 \end{eqnarray*}$

Ich würde dann sagen $\begin{eqnarray*} \phi_2 = 0 \end{eqnarray*}$ .
Die Ergebnisse für $\begin{eqnarray*} \phi_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi_5 \end{eqnarray*}$ sind mir dann aber fragwürdig.

22.01.2007, 14:53

IceTi

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Habs nochmal überprüfz:

$\begin{eqnarray*} Phi3 = \pi/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi 4 = 3\pi/4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Phi5 = 17\pi/12 \end{eqnarray*}$

22.01.2007, 15:01

klarsoweit

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phi3 ist ok, die anderen nicht.

Munteres Winkelraten: wer will noch mal, wer hat noch nicht? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.01.2007, 15:52

IceTi

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Kann man diese Aufgabe eigentlichauch ohne P-Divison lösen?
Habe da heute sowas aufgeschnappt.

24.01.2007, 16:43

IceTi

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Habe nun nochmal alles neu gerechnet.

Nochmal alle Ergebnisse einzelnd:

$\begin{eqnarray*} r1 = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r2= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r3,r4,r5 = \sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_1 = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_2 = 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_3 = \frac{3\pi}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_4 = \frac{9\pi}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_5 = \frac{17\pi}{12} \end{eqnarray*}$

26.01.2007, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi
$\begin{eqnarray*} \phi_3 = \frac{3\pi}{12} \end{eqnarray*}$

Ist richtig.

Zitat:

Original von IceTi
$\begin{eqnarray*} \phi_4 = \frac{9\pi}{12} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_5 = \frac{17\pi}{12} \end{eqnarray*}$

Ist falsch. (Hatte ich oben schon gesagt)

Merke: es geht um die 3. Wurzel. Deshalb mußt du auf den kleinsten gefundenen Winkel also $\begin{eqnarray*} \phi_3 = \frac{3\pi}{12} \end{eqnarray*}$ immer weiter 2pi/3 addieren, solange du dabei unterhalb 2pi bleibst. Damit erhältst du die anderen Winkel.

27.01.2007, 18:12

IceTi

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bist du dir sicher das Phi3 richtig ist ?

Habe nun:

Phi3 = 7PI/12
Phi4 = 15PI/12
Phi5 = 23PI/12

raus

Ich habe z³+1-i nach z aufgelöst, hatte da dann 7/4 PI raus und diesen Winkel habe ih einfach in die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{Phi+2*k*\pi}{n} \end{eqnarray*}$

gesetzt.

Hier ist mein Rechnenweg. Wo genau ist der Fehler?
http://iceti.ic.funpic.de/other/CIMG0629.JPG

28.01.2007, 12:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von IceTi
Hier ist mein Rechnenweg. Wo genau ist der Fehler?
http://iceti.ic.funpic.de/other/CIMG0629.JPG

Wenn ich mich nicht irre, mußte z³ + 1 - i = 0 sein.
Du hast in deiner Rechnung was anderes stehen.

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