Abbildungsmatrix

03.02.2012, 17:16

martinio

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Abbildungsmatrix

Schönen guten Nachmittag,

habe hier eine Aufgabe zum Thema Abbildungsmatrix.
Die Abbildungsmatrix beschreibt die lineare Abbildung zwiscehn zwei end. dim. Vektorräumen, nur weiß ich leider nicht wirklich wie ich auf diese komme, wenn die Vektoren der beiden Basen in den Räumen keine Einheitsvekotren , also keine Standartbasis, bilden.

Aufgabenstellung:
$\begin{eqnarray*} f : \mathbb R ^{3} \longrightarrow \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_{1} := \left\{ a_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} , a_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} , a_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ( Basis des Urbildbereiches )
$\begin{eqnarray*} B_{2} := \left\{ b_{1} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, b_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ( Basis des Bidlbereiches )

Abbildungsvorschrift:

$\begin{eqnarray*} f(a_{1}) = 2 b_{1} + b_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a_{2}) = b_{1} - b_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(a_{3}) = -b_{1} \end{eqnarray*}$

Läsungsansatz:

Wenn ich nun die Basisvektoren aus B1 abbilde erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} f ( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} ,<br /> f ( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix},<br /> f ( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind nun die Bilder, laut wikipedia bilden die Bilder die Spalten meiner Abbildungsmatirx:
$\begin{eqnarray*} M_{ B_{2} } ^ {B_{1}} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kann aber iwie nicht sein... oder?

03.02.2012, 17:29

Trak92

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wo genau ist denn das Problem?

scheint doch alles in Ordnung zu sein....

03.02.2012, 17:33

martinio

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hm okay, was kann ich dann nun genau mit der abbildungsmatirx tun? ich weiß, dass beim wechsel der basen die transformationsmatrix benötigt wird und dass später dann eine kombination zwischen trainsmatrix , abbildungsmatrix und abbildung gebraucht wird

03.02.2012, 17:49

Trak92

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was du mit der abbildungsmatrix tun sollst, hängt davon ab, was die Fragestellung ist, aber irgenwie gabs bis etzt noch keine, du hast bloß festgestellt, was die Abbildungsmatrix von f ist...

03.02.2012, 17:58

martinio

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okay das war auch bisher nur die aufgabe, scheinbar richtig gelöst.

dann gehts mit der nächsten teilaufgabe weiter.

Zitat:

Ermitteln sie Rang von f. Und welche Dimension besitzt der ker(f) .

Also da bin ich mir nicht ganz sicher. Der Rang ist die Dimension des Bildraumes, d.h. die Menge der Vekotren aus dem R^3 die in den R^2 abgebildet werden. Pauschal würde ich sagen dim im(f) = 2, aber da bin ich mir nicht sicher.

Ebenso die Dimension des 1.Defektes, also dim ker(f) würde ich sagen 3, aber das ist mehr spekulation als Wissen. Wie würde man da nun vorgehen?

03.02.2012, 18:02

martinio

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Edit:

Die Abbildungsmatrix beschreibt ja gerade die Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, könnte mir vorstellen , dass man die Abbildungsmatrix per gaußschen Eliminationsverfahrens in eine äquivalente Matrix in (Zeilen-)Stufenform umformt.
Dann entspricht die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, dem Rang der Matrix.

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03.02.2012, 18:06

Trak92

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spekulativ ist das nun wirklich....

Also der Rang der Abbildung ist auch der rang der Matrix, ist auch die Dimension des Bildes.

Nun kennen wir ja die Abbildungsmatrix und die zeigt die Bilder der Einheitsvektoren...

Wie man weiss, kann ja jeder Vektor mit den Einheitsvektoren ausgedrückt werden, also wird jeder Vektor den wir transformieren mit den Bildern der Einheitsvektoren dargestellt werden.

Die Frage ist also erstmal, ob sich mit den bilder jeder beliebige Vektor im R^2 darstellen lässt, oder ob vllt. nur ein Teilraum getroffen wird.

Kurz gesagt, muss man überprüfen, ob die Bilder linear abhängig sind....

03.02.2012, 18:22

martinio

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okay habe dann die Abbildungsmatrix gelöst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{3} \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ dim im (f) = 2

die Bilder in Linearkombination gestellt
$\begin{eqnarray*} 0 = \lambda_{1} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end {pmatrix} + \lambda_{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{3} \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt eine nicht-triviale Lösung des Nullvekots => lin. abhängig.

so richtig?

03.02.2012, 18:29

Trak92

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na das alle drei Vektoren zusammen linear abhängig sind ist ja offensichtlich, die frage ist halt, ob Sie alle auf einer geraden liegen oder nicht, und die hast du ja schon damit beantwortet, dass du den rang der Matrix auf zwei bestimmt hast.

Was ergibt sich somit für den Kern der Abbildung?

03.02.2012, 18:33

martinio

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btw. in der vorlesung machen wir überhaupt keine geom. darstellung, mich interessiert das aber trotzdem, wie ist nun der zusammenhang, dass die vektoren auf einer geraden liegen und der dimension? Wo kann ich das nochmal genauer nachlesen?

Die Dimension des Urbildbereiches ist gegeben: dim R^3 = 3
Laut Rangsatz
dim R^3 = dim ker(f) + dim im(f) erhält man nach umstellung:
3 = dim ker(f) + 2
1 = dim ker(f) , falls man dies so machen darf.

03.02.2012, 18:46

Trak92

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jupp die Formel mit Kern und Bild ist richtig...

P.S. Wenn jetzt alle vektoren auf einer Geraden liegen würden, dann wäre die Bilddimension ja 1, weil es auf einer Geraden nur einen linear unabhängigen vektor gibt.

Wo du das nachlesen kannst...
Keine Ahnung vllt. in nem Lin Alg Buch, also ich denke in den meisten wird es angedeutet.

Bei uns kams auch in der vorlesung oder UE...

P.S. 2

Kannst du dir auch denken, warum die kerndimension 1 ist?

03.02.2012, 19:03

martinio

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ach ja denke weiß warum. Die anzahl der zur beschreibung notwendigen Werte ist die Dimension des Raumes

die ebene hat die dim = 2 --> hier z.b. die durch die bildvektoren aufgespannte eben
die gerade hat die dim = 1 ---> hier z.b. die lin. abhängigen vektoren des kerns, die den Nullvektor bilden ( dieser ist ja eine gerade ) .
ein punkt hat die dim = 0

03.02.2012, 19:14

Trak92

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also ich denke du weisst warum, aber kannst es nich richtig ausdrücken (der Nullvektor ist nämlich keine gerade)

deshalb schreibe ich es nochmal hin

Die Bilddimension ist zwei, weil wie du schon richtig gesagt hast die Vektoren
(4,3); (2,0); (-2,-1) eine Ebene aufspannen

Die kerndimension ist 1, weil es im Definitionsbereich eine Gerade geben wird wobei ein Element der Geraden X auf den Nullvektor abgebildet wird:

Es ist dann:

X1(4,3)+X2(2,0)+X3(-2,-1)=0

Wenn du willst, kannst du ja als Übung den konkreten Kern angeben....

Falls du noch Fragen hast kannst stell die am besten in der nächsten Viertelstunde, dann bin ich weg...

03.02.2012, 19:32

martinio

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ja gerne mach ich, bin jetzt was essen :=) danke für deine hilfe. melde mich später zurück!

03.02.2012, 22:20

martinio

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Frage I : Wenn nun die Basen verändert werden ist es richtig zu sagen:
- für Einheitsbasen mit Einheitsvektoren brauch ich keine Transformationsmatrix
- für neue Basen, die nicht nur aus Einheitsvektoren bestehen, muss eine Transformationsmatrix gebildet werden?

03.02.2012, 22:27

Trak92

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Hi,

du verwirrst mich nun ein bisschen:

Zitat:

Wenn nun die Basen verändert werden ist es richtig zu sagen: - für Einheitsbasen mit Einheitsvektoren brauch ich keine Transformationsmatrix

In welchem Fall gehst du jetzt von einer Basisänderung aus?

Und was meinst du mit Einheitsbasis? Meinst du da die kanonische Basis also z.B (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1) im R^3?

04.02.2012, 00:05

martinio

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nun ja nehmen wir obiges beispiel und verändern B1 und B2 so, dass diese nun die einheitsbasen des jeweiligen raumes r^3 und r^2 sind. was muss dann getan werden?

ps: genua das meine ich mit basiswechsel und einheitsbasis :=)

04.02.2012, 12:51

Trak92

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Also wenn ich das richtig verstanden habe, möchtest du aus der Basis:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ 0 \end{array} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} 0 \\ 1\\ 1 \end{array} \end{eqnarray*}$

Die kanonische Einheitsbasis machen.

Dazu musst du wenn du einen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{array}{c} x \\ y\\ z \end{array} \end{eqnarray*}$ in B1 hast die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \end{eqnarray*}$ auf ihn anwenden, um den Vektor in der kanonischen Basis zu haben...

Man nennt die Matrix aber nicht Transformationsmatrix, da der Vektor ja derselbe bleibt, er ist halt jetzt nur in einer anderen Basis

04.02.2012, 13:02

martinio

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d.h. ich bilde den gewählten vektor als linearkombination bzgl. der einheitsbasis ?
wann würde denn nun die transformationsmatrix in spiel kommen?

04.02.2012, 13:11

Trak92

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Zitat:

d.h. ich bilde den gewählten vektor als linearkombination bzgl. der einheitsbasis ?

Ich denke du meinst das richtige, aber ich mach mal am besten ein Beispiel:

Nehmen wir an, du hast den Vektor bezüglich der Basis B1 als (1,1,1) in der Einheitsbasis ist das der Vektor (1,2,1). Um den Vektor (1,2,1) zu erhalten, musst du auf den vektor (1,1,1) die Matrix anwenden, die ich geschrieben habe (lässt sich aber leich ausrechnen).

Diese Matrix gibt dir denselben Vektor, nur bezüglich einer anderen basis. Eine Transformationsmatrix, gibt dir einen anderen Vektor, der kann bezüglich der gleichen Basis sein, oder bezüglich einer anderen. Z.b. kannst du eine Drehmatrix erstellen, die dir jeden Vektor im R^3 um einen Winkel in irgend einer Ebene gedreht gibt, der ist dann bzüglich derselben Basis die du hattest, aber eben ein anderer Vektor. Wohingegen dir die Matrix, die du in der Aufgabe aufgeschrieben hast, einen anderen Vektor bezüglich einer anderen Basis gibt.

04.02.2012, 13:40

martinio

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d.h. um auf die einheitsvekotoren der Einheitsbasis zukommen, muss ich nun für jeden der 3 Vekotren ein LGS aufstellen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ o \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

04.02.2012, 13:55

Trak92

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Also du willst die Einheitsvektoren, bezüglich der B1 Basis schreiben, habe ich das richtig verstanden?

Oder willst du die Basisvektoren von B1 bezüglich der kanonischen Basis schreiben?

Wenn du die Basisvektoren von B1 bezüglich der kanonischen Basis schreiben willst, dann musst du die Matrix auf die Vektoren bezüglich B1, die die Basisvektoren repräsentieren (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1) anwenden.

Wenn du die Einheitsvektoren bezüglich B1 darstellen willst, dann musst du die inverse Matrix auf die vektoren, die die Einheitsvektoren bezüglich der kanonischen basis repräsentieren (1,0,0) ; (0,1,0) ; (0,0,1) anwenden.

P.S. wenn du die matrizengleichungen schreibs, muss der vektor immer hinter der Matrix stehen, denn sonst macht der ausdruck keinen sinn!

04.02.2012, 14:12

martinio

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okay ich verdau ersrtmal und melde mich später zurück

05.02.2012, 12:18

martinio

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also die aufgabenstellung lautet:

Wie lautet die Darstellungsmatrix , wenn anstelle der beiden Basen B1 und B2, die Basen gebildet aus den Standartvektoren R^3 , R^2 gewählt werden. Ich denke das ist der klassische Basiswechsel, oder nicht? Dafür bräuchte man eig. eine Transformationsmatrix, aber z.b. im entsprechenden Wikipedia artikel wird dies bei standartbasen ohne getan.

05.02.2012, 12:35

Trak92

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Hi,

ich finde die Aufgabe so ein bisschen unpräzise gestellt..

Was ich nicht ganz sehe ist, ob du einen Vektor aus der Basis B1 über die Einheitsbasis im R^3 auf einen Vektor in der Einheitsbasis des R^2 abbilden möchtest, oder ob du einen Vektor in der Basis e^3 auf einen Vektor in der Basis e^2 abbilden möchtest. Wenn du da z.b eine Projektion nimmst, d.h. der 3-D Vektor wird auf seine 2-D Projektion abgebildet, dann kannst du dir auch eine Matrix sparen, und nimmst einfach v1=v1 ; v2=v2

Kannst du vielleich die originale Aufgabenstellung abschreiben, oder ein Foto machen...

05.02.2012, 12:57

martinio

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Zitat:

Wie lautet die Darstellungsmatrix , wenn anstelle der beiden Basen B1 und B2, die Basen gebildet aus den Standartvektoren R^3 , R^2 gewählt werden.

1:1 abgeschrieben.

05.02.2012, 13:13

Trak92

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Ok ich denke ich weiss was gemeint ist:

Man hat einen Vektor (x1,x2,x3) in e^3 und möchte nun auf ihn die in f beschriebene Abbildung ausführen. Das Resultat möchte man nun im e^2 schreiben.

Die Abbildung nennen wir die Matrix A ist ja jetzt von B1 nach B2, das heisst wenn wir einen Vektor (x1,x2,x3) in e^3 haben müssen wir ihn erst auf B1 abbilden, wenn wir A anwenden wollen. Dazu sollte man eine Matrix sagen wir B nehmen dann haben wir schon mal ABx=y in der Basis B2. Jetzt muss man halt noch von B2 auf e^2 abbilden nehmen wir die Matrix C, dann haben wir d=CABx. Also ist die neue darstellungsmatrix CAB und man kann die ja D nennen dann gilt d=Dx....

Hoffe das das verständlich ist...

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