Bilinearform mit f(v, v) = 0

03.02.2012, 19:51

qed

Bilinearform mit f(v, v) = 0

Servus!

Folgende Aufgabe habe ich mir im Internet gesucht.
"Seien V ein reeller Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \gamma: V\times V \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform, so dass $\begin{eqnarray*} \gamma(v, v) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Folgt dann $\begin{eqnarray*} \gamma = 0 \end{eqnarray*}$ ?"

Meine Überlegungen:

Da $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform ist gilt $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda v, v) = \lambda \gamma(v,v) = 0 \end{eqnarray*}$ . Dies dürfte dann auch im zweiten Argument funktionieren mit $\begin{eqnarray*} \gamma(v, \lambda v) = \lambda \gamma(v,v) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt dann insgesamt, dass $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda_1 v, \lambda_2 v) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Damit sind aber noch jene $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ unbehandelt, die keine skalaren Vielfachen von v sind.

Ich habe versucht, dass mit den Eigenschaften der Bilinearform bzgl. der Addition hinzukonstruieren.

Ich käme auf $\begin{eqnarray*} \gamma(u+v,v) = \gamma(u,v) + \gamma(v,v) = \gamma(u,v) \end{eqnarray*}$ , nicht notwendigerweise 0.

Wäre nett wenn mir jemand ein bisschen weiterhelfen könnte smile

03.02.2012, 23:11

ThomasL

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RE: Bilinearform mit f(v, v) = 0
Hallo qed,

nehmen wir der Einfachheit halber $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ , und sei $\begin{eqnarray*} e_1,e_2 \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Wenn man jetzt einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} v=x_1e_1+x_2e_2 \end{eqnarray*}$ (wo $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ) in die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann sieht man worauf es hinausläuft

04.02.2012, 13:33

qed

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Servus und danke erstmal!

Ich habe ziemlich lange mit der Darstellung bzgl. der Basis herumgespielt, bin aber leider zu nichts gekommen. Vielleicht könntest du mir noch ein bisschen weiter helfen? Tut mir leid...

Soll ich mit $\begin{eqnarray*} \gamma(v, v) = \gamma(e_1x_1 + e_2x_2, e_1x_1 + e_2x_2) \end{eqnarray*}$ anfgangen?

04.02.2012, 14:08

ThomasL

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Zitat:

Original von qed
Soll ich mit $\begin{eqnarray*} \gamma(v, v) = \gamma(e_1x_1 + e_2x_2, e_1x_1 + e_2x_2) \end{eqnarray*}$ anfgangen?

ja, die rechte Seite kann man mit der Bilinearität umformen. Und dann kommt auch die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \gamma(v,v)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ins Spiel...

08.02.2012, 17:22

qed

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Hallo nochmal und danke!

Ich habe nochmals damit herumgebastelt und einige Seiten vollgekritzelt - aber ich steh echt auf dem Schlauch.

Kannst du mir die ersten Schritte zeigen?

Ich habe schon versucht, alles was die Bilinearität mit sich bringt auszunutzen ...

Irgendwie müssten die Umformungen doch auf $\begin{eqnarray*} \gamma(v,w) = 0 \end{eqnarray*}$ führen, oder?

08.02.2012, 18:01

ThomasL

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ok

$\begin{eqnarray*} 0=\gamma(v,v)=\gamma(x_1e_1+x_2e_2, x_1e_1+x_2e_2)=x_1^2\gamma(e_1,e_1)+x_1x_2\gamma(e_1,e_2)+x_1x_2\gamma(e_2,<br /> e_1)+x_2^2\gamma(e_2,e_2) \end{eqnarray*}$

nach Voraussetzung ist aber auch $\begin{eqnarray*} \gamma(e_1,e_1)=\gamma(e_2,e_2)=0 \end{eqnarray*}$ , also bleibt noch

$\begin{eqnarray*} 0=x_1x_2[\gamma(e_1,e_2)+\gamma(e_2,e_1)] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ....

edit: keine Ahnung, warum die Formel unterbrochen wird ...

09.02.2012, 23:06

qed

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Hm.... danke erstmal

Genau darauf bin ich mit meinen eigenen Umformungen auch immer wieder gestoßen.

Mein Problem ist, dass ich keinen Weg finde, damit jeden Vektor aus R^2 darzustellen.

Wir haben die Summe, der beiden möglichen Kombinationen von Basisvektoren und können diese auch noch gewichten, ...

Die Intuition schlägt da schon irgendwie an, aber das führt noch nirgends hin.

Lg

10.02.2012, 12:51

ThomasL

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Zitat:

Original von ThomasL

$\begin{eqnarray*} 0=x_1x_2[\gamma(e_1,e_2)+\gamma(e_2,e_1)] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

nun, wir können doch z.B. $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=1 \end{eqnarray*}$ wählen (oder irgendeinen anderen von 0 verschiedenen Wert), dann erhalten wir $\begin{eqnarray*} \gamma(e_1,e_2)=-\gamma(e_2,e_1) \end{eqnarray*}$ .

Das heisst, dass die Bilinearform $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ schiefsymmetrisch ist ( $\begin{eqnarray*} \gamma(v,w)=-\gamma(w,v) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in V \end{eqnarray*}$ )

Die Umkehrung gilt auch (warum?), also

$\begin{eqnarray*} \gamma(v,v)=0 \,\,\forall v\in V \iff \gamma \text{ schiefsymmetrisch} \end{eqnarray*}$

Somit kannst du irgendeine schiefsymmetrische Bilinearform in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ als Gegenbeispiel zur Behauptung wählen

10.02.2012, 12:56

qed

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Alles klar und vielen Dank für deine Zeit!

Ich war die ganze zeit so verbissen darauf, die Aussage zu beweisen, dass mir gar nicht mehr in den Sinn gekommen wäre, dass sie falsch sein könnte, ....

Danke!

07.03.2012, 16:17

Pueggel

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Weshalb gilt denn die umgekehrte Implikation?

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