Ordnung von Gruppenelementen |
| 04.02.2012, 00:31 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ordnung von Gruppenelementen Ich habe eine Frage zur Ordnung von Gruppenelementen. Die Definition lautet ja, dass die Ordnung gleich dem kleinsten n > 0 ist, sodass g^n = e ist. Nun, angenommen ich habe den Ring Z/6Z. Der Ring hat 6 Elemente: {0,1,...5} Warum hat 1+6Z Ordnung 6? Man kann ja 1^1 = 1 setzen, also wäre die Ordnung 1. Oder: Warum hat 2+6Z Ordnung 3? Habe ich da etwas missverstanden? MfG, Thomi |
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| 04.02.2012, 00:37 | Kimi_R | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Definition geht eben schon (von dem "Spezialfall") davon aus, dass es sich um eine multiplikative Gruppe handelt Besser, da allgemeiner (soll heißen unabhängig von der Gruppenoperation) ist natürlich zu sagen: ord(g) := #<g>, wobei <g> die von g Erzeugte Untergruppe bezeichne |
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| 04.02.2012, 00:41 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke. ...nuuuur: haben wir zB 1+6Z Das sind: {1, 7, 13, .... } ABER: Wie kommt man auf Ordnung 6? ...also das hab ich auch per <>-Def. noch nicht ganz verstanden. |
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| 04.02.2012, 00:53 | Kimi_R | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ordnung 6 stimmt schon. Schau dir am besten nochmal die Definition des Restklassenring Z/nZ an an Vielleicht hilft dir für deine Intuition der Wikipedia-Artikel "Restklassenring" weiter, da gibts etwa in der Mitte ein ganz gutes Beispiel |
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| 04.02.2012, 00:57 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, mach ich. Inzwischen: Was wäre dann mit 3+6Z ? also <3> = ...? |
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| 04.02.2012, 14:21 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Update: Ich habe den Artikel mittlerweile gelesen und habe das Gefühl, den Restklassenring verstanden zu haben. Wie ist denn die Definition von <x> = ... ? Offenbar habe ich das noch nicht ganz verstanden. Ich kenne diese Schreibweise von erzeugten Idealen (bzw. Elemente davon). |
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| 04.02.2012, 14:34 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
<x> ist der Schnitt aller Untergruppen von G, die x enthalten. Also die kleinste Gruppe, die x enthält. |
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| 04.02.2012, 14:50 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhhhhhhhhh danke! 
Dann hat zB 3+6Z Ordnung 2. Nun noch eine (hoffentlich letzte) Frage: 4+6Z hat dann Ordnung 1, oder? |
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| 04.02.2012, 14:57 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. |
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| 04.02.2012, 15:10 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah nein, auch Ordnung 3. |
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| 04.02.2012, 15:37 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ordnung 3 stimmt. "Auch" stimmt jedoch nicht, da das andere Element ja Ordnung 2 hatte. Du dachtest ja erst, das Element sei von Ordnung 1. Überleg dir doch fix einmal, wie Elemente einer Gruppe aussehen, die Ordnung 1 haben. |
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| 04.02.2012, 23:22 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort. Ordnung 1 haben die neutralen Elemente, du hast Recht. Danke!
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| 04.02.2012, 23:33 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie viele gibts von denen so pro Gruppe im Durchschnitt (arithmetisches Mittel)? |
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| 04.02.2012, 23:40 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich korrigiere zu "...hat das neutrale Element..." ...im Schnitt so in etwa 1 
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| 04.02.2012, 23:44 | mathinitus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da liegst du vollkommen richtig. |
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